वर्ग वह चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण 90° (समकोण) होते हैं। इसकी दोनों विकर्ण (Diagonals) भी बराबर होती हैं और एक-दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं।
यहाँ वर्ग का परिमाप और क्षेत्रफल, सभी स्थितियों के साथ विस्तार से दिया गया है:
परिमाप (Perimeter)
किसी भी आकृति का परिमाप उसकी बाहरी सीमा (चारों भुजाओं) का कुल योग होता है।
- सूत्र: P = 4 × भुजा (मान लीजिए भुजा = a)
- व्याख्या: चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं (a = a = a = a), इसलिए परिमाप = a + a + a + a = 4a।
क्षेत्रफल (Area)
क्षेत्रफल वर्ग के अंदर की सतह को मापता है।
- सूत्र: A = भुजा × भुजा = (भुजा)² (अर्थात A = a²)
- व्याख्या: वर्ग को आप लंबाई और चौड़ाई दोनों समान होने के कारण एक विशेष आयत मान सकते हैं, इसलिए क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = a × a।
⭐ विकर्ण (Diagonal) के आधार पर क्षेत्रफल (सबसे महत्वपूर्ण ट्रिक)
अक्सर परीक्षाओं में भुजा (Side) न देकर विकर्ण (Diagonal – d) दे दिया जाता है।
वर्ग का विकर्ण (d) = भुजा × √2 होता है (अर्थात d = a√2)।
यदि आपको सीधा विकर्ण दिया है, तो क्षेत्रफल का सूत्र होगा:
- सूत्र: A = (d²) / 2
(क्योंकि a = d/√2, तो a² = d²/2)
✅ उदाहरण (Numerical) से समझें:
प्रश्न: एक वर्ग की भुजा 8 सेमी है। इसका परिमाप, क्षेत्रफल, और विकर्ण ज्ञात कीजिए।
- परिमाप: P = 4 × 8 = 32 सेमी
- क्षेत्रफल (भुजा से): A = 8 × 8 = 64 वर्ग सेमी (cm²)
- विकर्ण: d = 8√2 सेमी
- क्षेत्रफल (विकर्ण से पुष्टि): A = d²/2
- = (8√2)²/2
- = (128)/2
- = 64 वर्ग सेमी (उत्तर मिल गया)।
