भाज्य संख्या, अभाज्य संख्या, सह-अभाज्य संख्या और जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ

• परिभाषा: वह संख्या जो 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से भी विभाजित हो सकती है, उसे भाज्य संख्या कहा जाता है। अर्थात, जिसके एक से अधिक गुणनखण्ड (factors) होते हैं।
• उदाहरण:
  • 4 (गुणनखण्ड: 1, 2, 4)
  • 6 (गुणनखण्ड: 1, 2, 3, 6)
  • 9 (गुणनखण्ड: 1, 3, 9)
  इन सभी संख्याओं के 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखण्ड हैं, इसलिए ये भाज्य संख्याएँ हैं।

• परिभाषा: वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित हो सके, उसे अभाज्य संख्या कहते हैं। अर्थात, जिसके केवल दो ही गुणनखण्ड होते हैं – 1 और वह स्वयं।
• उदाहरण:
  • 2 (गुणनखण्ड: 1, 2)3 (गुणनखण्ड: 1, 3)5 (गुणनखण्ड: 1, 5)7 (गुणनखण्ड: 1, 7)
  ये संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं, इसलिए ये अभाज्य संख्याएँ हैं।

1 से 200 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची

इन्हें दो श्रेणियों में बाँटा जा सकता है:

1. 1 से 100 तक की अभाज्य संख्याएँ (कुल 25)

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

2. 101 से 200 तक की अभाज्य संख्याएँ (कुल 21)

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

अभाज्य संख्या के गुण

• 2 को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।
• 1 बड़ी पूर्ण संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
• अभाज्य संख्याएँ में केवल और केवल दो गुणनखंड होते है।
• अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने की विधि को गुणनखंड विधि कहते है।
• अभाज्य संख्याएँ हमेशा 0 और 1 से बड़ी होती है।
• 1 से बड़ी सभी अभाज्य संख्या 1 से विभाजित हो सकती है।
• 0 और 1 अभाज्य संख्याएँ नही है।
• अभाज्य संख्या 1 और स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नही हो सकती है।

सह-अभाज्य संख्याएँ एक समुच्चय हैं ऐसी संख्याएँ या पूर्णांक जिनका सामान्य गुणनखंड केवल 1 है अर्थात उनका उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) 1 होगा।

सह-अभाज्य संख्याएँ बनाने के लिए यह आवश्यक है कि दो संख्याएँ हों।

उदाहरण 1: 21 और 22

21 और 22 के लिए:

• 21 के गुणनखंड 1, 3, 7 और 21 हैं।
• 22 के गुणनखंड 1, 2, 11 और 22 हैं।

यहां 21 और 22 में केवल एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है जो कि 1 है। इसलिए, उनका महत्तम समापवर्तक 1 है और सह-अभाज्य हैं।

उदाहरण 2: 21 और 27

21 और 27 के लिए:

• 21 के गुणनखंड 1, 3, 7 और 21 हैं।
• 27 के गुणनखंड 1, 3, 9 और 27 हैं।

यहां 21 और 27 में दो सामान्य गुणनखंड हैं; वे 1 और 3 हैं। महत्तम समापवर्तक 3 है और वे सह-अभाज्य नहीं हैं।

जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ दो ऐसी अभाज्य संख्याओं की जोड़ी होती हैं जिनके बीच का अंतर 2 होता है।

परिभाषा (Definition):

यदि p और q अभाज्य संख्याएँ हैं और q−p=2

तो p और q को जुड़वाँ अभाज्य संख्या कहते हैं।

उदाहरण (Examples):

कुछ जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं की जोड़ी:

1. (3,5)
2. (5,7)
3. (11,13)
4. (17,19)
5. (29,31)
6. (41,43)
7. (59,61)

सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौनसी हैं?

A. 1
B. 0
C. 2
D. 4

उत्तर:- सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 हैं।

सबसे छोटी अभाज्य संख्या लिखिए जो 9 से बड़ी हो।

A. 11
B. 13
C. 17
D. 23

उत्तर:- 9 से बड़ी अभाज्य संख्याएँ 11, 13, 17, 19, 23 हैं। इनमें सबसे छोटी संख्या 11 हैं।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए जो 18 से छोटी हो।

A. 17
B. 15
C. 13
D. 9

उत्तर:- 18 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 हैं। इनमें सबसे बड़ी संख्या 17 हैं।

20 से छोटी उन अभाज्य संख्याओं के जोड़े लिखिए जिनका अंतर 2 हो?

A. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)
B. (2, 3), (5, 9), (7, 9) (9, 11)
C. (1, 3), (5, 7), (7, 9) (19, 19)
D. (3, 5), (5, 7), (7, 9) (17, 19)

हल:- प्रश्ननानुसार,
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के बीच 2 का अंतर
उत्तर:- (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)

ऐसी 50 से छोटी अभाज्य संख्याओं के जोड़े लिखिए जिनका अंतर 1 हो?

A. (2, 3)
B. (3, 5)
C. (11, 13)
D. (17, 19)

50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ
उत्तर:- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
50 से छोटी अभाज्य संख्याओं के बीच 1 का अंतर (3 – 2 ) = 1

30 और 40 के बीच की अभाज्य संख्याएँ लिखिए?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

उत्तर:- 30 और 40 के बीच की अभाज्य संख्याएँ – 31, 37 हैं।

50 से छोटी अभाज्य संख्याओं की संख्या कितनी हैं?

A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ
उत्तर:- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

एक अंक की सभी भाज्य संख्याओं की संख्या कितनी हैं?

A. 5
B. 4
C. 6
D. 8

1 अंक की सभी भाज्य संख्या
उत्तर:- 2, 3, 5, 7 हैं।

1 से 100 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

A. 12
B. 24
C. 25
D. 30

उत्तर:- 1 से 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्रथम 4 अभाज्य संख्याओं का योग बताइए?

A. 15
B. 17
C. 23
D. 29

हल:- प्रश्ननानुसार,
प्रथम 4 अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5, 7,
प्रथम 4 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7
उत्तर:- 17

8 अभाज्य संख्याओं का औसत क्या हैं?

A. 4.890
B. 8.984
C. 9.625
D. 10.789

हल: प्रश्नानुसार,
प्रथम 8 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 हैं।
औसत = (2+3+5+7+11+13+17+19) / 8
= 77 / 8
उत्तर:- 9.625

लगातार 10 अभाज्य संख्याओं का योग हैं?

A. 112
B. 137
C. 129
D. 142

हल:-लगातार 20 अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
लगातार 20 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
उत्तर:- 129

लगातार 15 अभाज्य संख्याओं का योग हैं?

A. 204
B. 280
C. 304
D. 384

हल:- प्रश्ननुसार,
लगातार 25 अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39
लगातार 20 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39
उत्तर:- 304

निम्न में किन संख्याओं के बीच में केवल एक ही अभाज्य संख्या है?

a. 40 तथा 50
b. 60 तथा 70
c. 80 तथा 90
d. 90 तथा 100

निम्नलिखित में कौन सी अभाज्य संख्या है?

a. 91
b. 93
c. 95
d. 97

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अभाज्य (Prime) है?

• a) 4
• b) 7
• c) 9
• d) 12

उत्तर: b) 7

15 और 28 के बीच संबंध क्या है?

• a) ये सह-अभाज्य (Co-prime) हैं।
• b) ये अभाज्य (Prime) हैं।
• c) ये भाज्य (Composite) हैं
• d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या भाज्य (Composite) है?

• a) 11
• b) 13
• c) 15
• d) 17

उत्तर: c) 15

कौन-सी संख्या अभाज्य नहीं है?

• a) 3
• b) 5
• c) 9
• d) 11

उत्तर: c) 9

सह-अभाज्य संख्याओं के लिए कौन-सा कथन सही है?

• a) दोनों संख्याएँ अभाज्य होनी चाहिए।
• b) दोनों संख्याएँ भाज्य होनी चाहिए।
• c) दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होना चाहिए।
• d) दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) 1 होना चाहिए।

उत्तर: c) दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होना चाहिए।

35 और 18 के बीच संबंध क्या है?

• a) ये सह-अभाज्य हैं।
• b) ये अभाज्य हैं।
• c) ये भाज्य हैं।
• d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या भाज्य है?

• a) 23
• b) 19
• c) 29
• d) 24

उत्तर: d) 24

13 और 14 के बीच संबंध क्या है?

• a) ये सह-अभाज्य हैं।
• b) ये अभाज्य हैं।
• c) ये भाज्य हैं।
• d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अभाज्य संख्या है?

• a) 21
• b) 22
• c) 23
• d) 24

उत्तर: c) 23

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या सह-अभाज्य (Co-prime) नहीं है?

• a) 8 और 15
• b) 14 और 25
• c) 17 और 19
• d) 12 और 18

उत्तर: d) 12 और 18

ये MCQs छात्रों को भाज्य, अभाज्य, और सह-अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतर को समझने में सहायता करेंगे।