HCF-LCM (भाग विधि) – लंबी संख्याओं के लिए सुपरफास्ट ट्रिक

क्लास का उद्देश्य:
बच्चा जब बड़ी-बड़ी संख्याएँ (जैसे 144, 288, 999) देखता है, तो उनके अभाज्य गुणनखंड (Prime Factors) निकालने में घबरा जाता है। आज हम उसे भाग (Division) नाम का एक ‘शॉर्टकट’ (Shortcut) सिखाएँगे, जिससे वह बिना गुणनखंड किए, बड़ी से बड़ी संख्याओं का HCF और LCM चुटकियों में निकाल सके। चलिए, सीखते हैं!

1. 🦸‍♂️ कहानी: “जब गुणनखंड बहुत बड़े हो जाएँ”

पिछली क्लास में, हमने 24 और 36 का HCF और LCM अभाज्य गुणनखंड (2×2×2×3…) से निकाला।
लेकिन अगर संख्याएँ 144 और 96 हों, तो इनके गुणनखंड करने में बहुत समय लगेगा और गलती होने का डर रहेगा।
इसलिए गणितज्ञों ने एक ‘जादुई भाग’ (Division Method) बनाया—जो कठिन संख्याओं पर लगाने पर समय बचाता है और उत्तर हमेशा सही आता है!

2. ⚔️ भाग 1: HCF निकालने की ‘लंबी भाग विधि’ (Euclid’s Algorithm)

यह विधि केवल दो संख्याओं के लिए है, लेकिन इसे तीन या चार संख्याओं पर भी एक-एक करके (दो-दो का) इस्तेमाल किया जा सकता है।

😲 “अनोखा 4-स्टेप नियम” (याद रखें):

“बड़ी को छोटी से भाग दो, अब बचे शेष से भाजक को भाग दो। ऐसा तब तक करो जब तक शेष 0 (शून्य) न आ जाए। अंतिम भाजक ही HCF है!”

✅ उदाहरण 1: 144 और 96 का HCF निकालो (भाग विधि से)।

• चरण 1: बड़ी संख्या (144) को छोटी संख्या (96) से भाग दो।text96 ) 144 ( 1 -96 —- 48 ← यह है ‘शेषफल’ (Remainder)
• चरण 2: अब पुराने भाजक (96) को नए शेषफल (48) से भाग दो।text48 ) 96 ( 2 -96 —- 0 ← शून्य (0) आ गया! प्रक्रिया रोको।
• चरण 3: जिस भाजक (Divisor) से भाग देकर शेष 0 आया, वही HCF है।
• उत्तर: HCF (144, 96) = 48 🎉

✅ उदाहरण 2 (तीन संख्याओं के लिए): 72, 84 और 96 का HCF निकालो।

• पहला चरण: पहले दो का HCF लो (72 और 84)।
  • 84 ÷ 72 → भागफल 1, शेष 12।
  • 72 ÷ 12 → भागफल 6, शेष 0।
  • पहला HCF = 12।
• दूसरा चरण: अब इस HCF (12) को तीसरी संख्या (96) से भाग दो।
  • 96 ÷ 12 → भागफल 8, शेष 0 (सीधा बंट गया)।
• उत्तर: HCF (72, 84, 96) = 12।

3. ⚔️ भाग 2: LCM निकालने की ‘उभयनिष्ठ भाग विधि’ (Common Division Method)

यह HCF वाली विधि से बिल्कुल अलग है। यहाँ हम एक साथ सभी संख्याओं को उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं (Common Primes) से भाग देते हैं, जब तक सभी संख्याएँ ‘सह-अभाज्य (Co-prime)’ न हो जाएँ।

😲 “छोटा-छोटा काटो” नियम:

“सभी संख्याओं को पंक्ति में लिखो। 2, 3, 5, 7… से भाग दो (जिसमें कम से कम दो संख्याएँ विभाजित हो जाएँ)। जो विभाजित न हो, उसे वैसे ही नीचे लिखो। अंत में सभी भाजकों (Divisor) को आपस में गुणा करो—यही LCM है!”

✅ उदाहरण 1: 12, 18 और 24 का LCM भाग विधि से निकालो।

• अंतिम चरण: सभी भाजकों (Divisors) को गुणा करो: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72।
• उत्तर: LCM (12, 18, 24) = 72 🎉

4. ⚠️ ‘HCF’ और ‘LCM’ की भाग विधि में बड़ा अंतर (बच्चों को कंफ्यूज न होने दें!)

5. 🧠 कक्षा-अभ्यास (आओ खेलें!)

गतिविधि 1: ‘रुको मत, भाग करो!’ (Speed Game)

• शिक्षक बोर्ड पर लिखें: 616 और 32 का HCF भाग विधि से निकालो।
• हल: 616 ÷ 32 → शेष 8; 32 ÷ 8 → शेष 0। HCF = 8।
• जो बच्चा सबसे पहले सही उत्तर बताए, वह जीता।

गतिविधि 2: ‘एक साथ काटो’ (LCM का खेल)

• शिक्षक लिखें: 15, 25, 30 का LCM लो (भाग विधि से)।
• हल:
  • 5 ) 15, 25, 30 → 3, 5, 6
  • 3 ) 3, 5, 6 → 1, 5, 2 (3 सिर्फ 3 और 6 में लगा, 5 नहीं)
  • 5 ) 1, 5, 2 → 1, 1, 2
  • 2 ) 1, 1, 2 → 1, 1, 1
  • LCM = 5 × 3 × 5 × 2 = 150।

गतिविधि 3: ‘गलती पकड़ो’ (एक छात्र गलत करेगा)

• शिक्षक बोर्ड पर HCF (144, 96) का गलत हल लिखें: “144 ÷ 96 = शेष 48, 48 ÷ 144 = शेष 0, इसलिए HCF = 144″।
• बच्चे हाथ उठाएँ: “गलत! 144 बड़ा है, हम 48 को 144 से नहीं भाग देते, हम 96 को 48 से भाग देते हैं!”

6. 🏠 गृह कार्य (Homework – बड़ी संख्याओं को हराओ!)

A. HCF (भाग विधि) – बड़ी संख्याएँ:

• (अ) 315 और 225 का HCF निकालो।
  • (हल: 315 ÷ 225 = शेष 90; 225 ÷ 90 = शेष 45; 90 ÷ 45 = शेष 0 → HCF = 45)
• (ब) 504 और 540 का HCF निकालो।
  • (हल: 540 ÷ 504 = शेष 36; 504 ÷ 36 = शेष 0 → HCF = 36)
• (स) 75, 100 और 125 का HCF निकालो (पहले 75 और 100, फिर 125 से)।
  • (हल: 100÷75 = शेष 25; 75÷25 = 0 → HCF=25; 125÷25=0 → HCF=25)

B. LCM (भाग विधि) – बड़ी संख्याएँ:

• (अ) 18, 24 और 30 का LCM निकालो।
  • (हल: 2 ) 18,24,30 → 9,12,15; 3 ) 9,12,15 → 3,4,5; 2 ) 3,4,5 → 3,2,5; 3 ) 3,2,5 → 1,2,5; 2 ) 1,2,5 → 1,1,5; 5 ) 1,1,5 → 1,1,1 → LCM = 2×3×2×3×2×5 = 360)
• (ब) 36, 48, 72 का LCM निकालो।
  • (हल: 2 ) 36,48,72 → 18,24,36; 2 ) → 9,12,18; 2 ) → 9,6,9; 3 ) → 3,2,3; 3 ) → 1,2,1; 2 ) → 1,1,1 → LCM = 2×2×2×3×3×2 = 144)

C. (Navodaya/CTET चैलेंज):

• “दो संख्याएँ 144 और 84 हैं। इनका HCF भाग विधि से निकालो और बताओ कि क्या यह LCM का भी भाजक (Factor) होगा?”
  • (हल: 144÷84 शेष 60; 84÷60 शेष 24; 60÷24 शेष 12; 24÷12 = 0 → HCF=12। हाँ, HCF हमेशा LCM को विभाजित करता है।)

7. ✅ शिक्षक/ब्लॉगर के लिए सुनहरी टिप्स (सबसे जरूरी 4 बातें)

1. ‘HCF’ में शेषफल (Remainder) को कभी फेंकना नहीं है:
   बच्चे अक्सर भाग देकर भागफल (Quotient) को देखते हैं और रुक जाते हैं।
   • नियम: हमें शेषफल (Remainder) से काम है, भागफल से नहीं। हर बार पुराने भाजक को नए शेषफल से भाग देना है, भागफल से नहीं!
2. ‘LCM’ भाग विधि में ‘0’ का खेल:
   • अगर किसी संख्या में भाजक (जैसे 2) नहीं लगता, तो उसे वैसे ही नीचे उतारो (Bring Down)।
   • कहानी: “जो बच्चा नाच नहीं सकता, वह बेंच पर बैठा रहता है (नीचे उतर आता है)!”
3. तीन संख्याओं का HCF (भाग विधि) में एक ‘ट्रिक’:
   • अगर तीन संख्याएँ हैं, तो पहले दो का HCF लो, फिर इस HCF का तीसरी संख्या से HCF लो।
   • उदाहरण: 15, 20, 25 का HCF → (15,20) का HCF = 5; अब (5, 25) का HCF = 5 → उत्तर 5।
4. CTET/Navodaya में कैसे पूछते हैं?
   • अक्सर सवाल होता है: “HCF (306, 657) ज्ञात करने के लिए भाग विधि में कितनी बार भाग देना होगा?” (हल: 657÷306 शेष 45; 306÷45 शेष 36; 45÷36 शेष 9; 36÷9 = 0 → कुल 4 बार)।
   • बच्चों को केवल उत्तर निकालना न सिखाएँ, बल्कि प्रक्रिया (Steps) के बारे में भी पूछें, क्योंकि CTET में ‘कैसे’ पूछा जाता है, ‘क्या’ नहीं।

Mani Sir

Mani Sir एक अनुभवी शिक्षक, शिक्षा मार्गदर्शक और डिजिटल शिक्षा सामग्री निर्माता हैं। वे प्रतियोगी परीक्षाओं तथा विद्यालयी शिक्षा के लिए सरल, तथ्यपूर्ण और परीक्षा-उपयोगी अध्ययन सामग्री तैयार करने के लिए जाने जाते हैं। उनका उद्देश्य कठिन विषयों को आसान भाषा में समझाकर विद्यार्थियों की सफलता सुनिश्चित करना है।
वे विशेष रूप से Prayas आवासीय विद्यालय, जवाहर नवोदय विद्यालय (JNVST), एकलव्य मॉडल आवासीय विद्यालय (EMRS), SCERT, CG Board, CTET, तथा अन्य शैक्षिक परीक्षाओं के लिए नोट्स, मॉडल प्रश्नपत्र, MCQ, माइंड मैप, चार्ट, अध्ययन सामग्री और वीडियो लेक्चर तैयार करते हैं।