महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका
संख्या 18, 24 और 30 का H.C.F. निकालिए।
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 12
Ans.
दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या हैं जिसमें वह सभी संख्याएँ पूरी-पूरी विभाजित हो जाती हैं। जैसे:- 4, 8, 12 का महत्तम समापवर्तक 4 हैं।
अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor)
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अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor)
किसी संख्या का अपवर्तक वे सभी संख्याएँ हैं जो उस संख्या को पूर्णतः विभाजित कर देती हैं। जैसे :-
42 का अपवर्तक = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
48 का अपवर्तक = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
कोई संख्या जिन-जिन संख्याओं से पूरी-पूरी विभाजित हो जाती है वे संख्याएं उस संख्या की अपवर्तक कहलाती है।
| संख्या | अपवर्तक |
| 2 8 15 70 84 | 1,2 1,2,4,8 1,3,5,15 1,2,5,7,70 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 |
समापवर्तक (Common Factor) की अवधारणा
तीनों संख्याओं में 2, 4 तथा 8 समान अपवर्तक है। इस प्रकार समान अपवर्तक को ही समापवर्तक कहते हैं।
अतः उपरोक्त संख्या का समापवर्तक 2,4 व 8 है।
उपर्युक्त सारिणी से,
- 1 प्रत्येक संख्या का अपवर्तक है।
- प्रत्येक संख्या स्वयं का अपवर्तक होती है।
- किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या का एक पूर्ण विभाजक है।
- किसी दी हुई संख्या के अपवर्तकों की संख्या सीमित होती है।
- किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।
महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका
- अभाज्य गुणनखण्ड विधि
- द्वारा भाग विधि द्वारा
(a). अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
सर्वप्रथम दी गई प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की छोटी से छोटी घातों वाले गुणनखण्डों का गुणनफल ही प्राप्त संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।
उदाहरण 1. 8, 36 तथा 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- प्रश्ननानुसार,
8 ⇒ 2 × 2 × 2 = 2³
36 ⇒ 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 2²
72 ⇒ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 2²
उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखण्ड = 2
महत्तम समापवर्तक = सबसे छोटी घातांकों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2²
महत्तम समापवर्तक = 4
उदाहरण 2. 48, 36 तथा 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- प्रश्नानुसार,
48 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
36 ⇒ 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
72 ⇒ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखण्ड = 2, 3
महत्तम समापवर्तक = 2, 3 तथा 5 की सबसे छोटी घातों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2² × 3¹
महत्तम समापवर्तक = 4 × 3
महत्तम समापवर्तक = 12
Ans. 12
(b). भाग विधि द्वारा
माना दो संख्याओं x और y का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना हैं। जबकि (y > x) → y, x से बड़ा हैं। बड़ी संख्याओं में छोटी संख्या से भाग देगें।
उदाहरण 3. 8, 36 और 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
उदाहरण 4. 48, 36 और 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
भिन्नों का महत्तम समापवर्तक
भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का महत्तम समावतर्क / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य
उदाहरण 5. 5/6, 5/8, 10/21 तथा 2/3 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- प्रश्ननानुसार,
दी गई भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = 5, 5, 10 और 2 का महत्तम समापवर्तक / 6, 8, 21 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य
महत्तम समापवर्तक = 1/168
उदाहरण 6. 1/7, 2/3, 4/5 तथा 5/7 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?
हल:- प्रश्ननानुसार,
दी गई भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = 1, 2, 4 और 5 का महत्तम समापवर्तक / 7, 3, 5 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य
महत्तम समापवर्तक = 1/105
घातांक का महत्तम समापवर्तक
(a). जब दी गयी संख्याओं का आधार समान हो, तो सर्वाधिक घात वाली संख्या ही दिए गए संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।
उदाहरण 7. 7², 7⁹, 7¹⁴ तथा , 7³² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- समान आधार पर 7 हैं। तथा न्यूनतम घात 7² का हैं।
महत्तम समापवर्तक = 7²
उदाहरण 8. 5⁻¹, 5⁻², 5⁻⁴, 5⁻⁶ तथा 5⁻¹² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- आधार 8 समान हैं तथा न्यूनतम घात 8⁻¹² की हैं।
महत्तम समापवर्तक = 8⁻¹²
(b). जब आधार समान नहीं हो तथा आधार में कोई उभयनिष्ठ गुणन खण्ड नहीं हो, तो दिए गए संख्याओं का गुणनखण्ड ही महत्तम समापवर्तक 1 होगा।
उदाहरण 9. 2³, 4² और 8² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
चूँकि आधार (2) समान हैं इसलिए महत्तम समापवर्तक 1 नहीं होगा। इसका महत्तम समापवर्तक 8 होगा।
दशमलव संख्याओं का महत्तम समापवर्तक
(a). सबसे पहले दशमलव के बाद अधिकतम अंकों वाली संख्या का पता लगाइए।
(b). यदि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हो, तो सभी अंकों में 100 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।
अगर दशमलव के बाद अधिकतम तीन, चार या पाँच अंक हो, तो उसमें क्रमशः 1000, 10000 या 100000 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।
(c). प्राप्त पूर्ण संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करेंगें। उसके बाद प्राप्त महत्तम समापवर्तक में 100, 1000, 10000 से गुणा किया गया था। भाग देने के बाद जो संख्या प्राप्त होगी वही दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।
उदाहरण10. 0.05, 0.10, तथा 0.025 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
हल:- यहाँ दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 50, 100, तथा 25
इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक = 25
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = 25/1000
लघुत्तम समापवर्त्य = 0.025
MCQs
Details
प्रश्न 1: 12 और 18 का महत्तम समापवर्तक क्या है?
(a) 2
(b) 3
(c) 6
(d) 9
Ans.
✅ उत्तर: (c) 6
प्रश्न 2: संख्या 36, 60 और 84 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।
(a) 6
(b) 12
(c) 24
(d) 18
Ans.
✅ उत्तर: (b) 12
प्रश्न 3: भिन्नों 3/4, 6/8 और 9/12 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा?
(a) 3/12
(b) 3/4
(c) 3/8
(d) 1/4
Ans.
✅ उत्तर: (c) 3/8
प्रश्न 4: यदि दो संख्याएँ 42 और 70 हैं, तो उनका H.C.F. क्या होगा?
(a) 7
(b) 14
(c) 21
(d) 28
Ans.
✅ उत्तर: (b) 14
