प्रश्न और मॉडल उत्तर

पूर्णांक: 80 अंक | समय: 3 घंटे

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (2 अंक प्रत्येक)

प्रश्न 1. सम संख्या का पूर्ण वर्ग होता है —
(अ) विषम (ब) सम (स) भाज्य (द) अभाज्य
उत्तर: (ब) सम

प्रश्न 2. $(- 1)^{7}$ का सरलतम रूप है —
(अ) 1 (ब) 6 (स) $- 1$ (द) $- 6$
उत्तर: (स) $- 1$

प्रश्न 3. दो समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी सदैव रहती है —
(अ) कम (ब) ज्यादा (स) समान (द) समान
उत्तर: (स) समान

प्रश्न 4. वृत्त में लघु वृत्तखंड का कोण $110^{\circ}$ है, संगत दीर्घ वृत्तखंड पर कोण होगा —
(अ) $50^{\circ}$ (ब) $110^{\circ}$ (स) $360^{\circ}$ (द) $70^{\circ}$
उत्तर: (द) $70^{\circ}$
हल: $180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$

प्रश्न 5. प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का समान्तर माध्य होगा —
(अ) 1 (ब) 2 (स) 3 (द) 4
उत्तर: (स) 3
हल: $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$

प्रश्न 6. निम्न में से 3 से कौन विभाजित नहीं होगी —
(अ) 42 (ब) 78 (स) 13 (द) 30
उत्तर: (स) 13

अति लघुउत्तरीय प्रश्न (4 अंक प्रत्येक)

प्रश्न 7. कई तारे सूर्य से बड़े होने पर भी हमें सूर्य से छोटे दिखाई देते हैं। क्यों?
उत्तर: क्योंकि तारे पृथ्वी से सूर्य की तुलना में बहुत अधिक दूरी पर स्थित हैं। अधिक दूरी के कारण उनका आभासी आकार (apparent size) छोटा दिखाई देता है।

प्रश्न 8. सरल कीजिए — $(- 4)^{14} \times (- 4)^{7}$
उत्तर: $(- 4)^{14} \times (- 4)^{7} = (- 4)^{14 + 7} = (- 4)^{21} = - 4^{21}$

चूँकि घात 21 विषम है, अतः मान ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 9. 6 सेमी का रेखाखंड खींचकर उसे 5 समान भागों में विभाजित कीजिए।
रचना विधि:

AB=6 सेमी खींचिए।
$A$ से न्यून कोण बनाती हुई किरण $A X$ खींचिए।
$A X$ पर परकार से 5 समान चाप काटिए — $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ ।
$A_{5} B$ को मिलाइए।
$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ से $A_{5} B$ के समान्तर रेखाएँ खींचिए, जो $A B$ को क्रमशः $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ पर मिलेंगी।
इस प्रकार $A B$ 5 समान भागों में विभाजित हो जाएगा।

प्रत्येक भाग $= \frac{6}{5} = 1.2$ सेमी

प्रश्न 10. एक कार 3 घंटे में 600 किमी की दूरी तय करती है, तो 7 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?
उत्तर: $3 घंटे = 600 किमी$ $1 घंटा = 200 किमी$ $7 घंटे = 200 \times 7 = 1400 किमी$

उत्तर: 1400 किमी

प्रश्न 11. $- 125 a b c^{3}$ में $- 5 a^{2} b c$ का भाग दीजिए।
उत्तर: $\frac{- 125 a b c^{3}}{- 5 a^{2} b c} = 25 \times \frac{1}{a} \times c^{2} = \frac{25 c^{2}}{a}$

लघु उत्तरीय प्रश्न (6 अंक प्रत्येक)

प्रश्न 12. प्रथम 10 विषम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रथम 10 विषम संख्याएँ: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$

योग $= 100$ (क्योंकि प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $= n^{2} = 10^{2} = 100$ ) $माध्य = \frac{100}{10} = 10$

उत्तर: 10

प्रश्न 13. भाग दीजिए — $2 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}$ को $2 x^{2}$ से
उत्तर: $\frac{2 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{2 x^{2}} = \frac{2 x^{4}}{2 x^{2}} - \frac{6 x^{3}}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{2 x^{2}}$ $= x^{2} - 3 x + 2$

उत्तर: $x^{2} - 3 x + 2$ x2−3x+2

प्रश्न 14. निम्न आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए — $4, 5, 10, 6, 7, 14, 9, 15$
उत्तर:
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $4, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15$

कुल संख्याएँ $N = 8$ $माध्यिका = \frac{(\frac{N}{2}) वाँ + (\frac{N}{2} + 1) वाँ}{2}$ $= \frac{4 थ + 5 वाँ}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$

उत्तर: माध्यिका = 8

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 अंक प्रत्येक)

प्रश्न 15. एक ताश की गड्डी में इक्का आने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
ताश की गड्डी में कुल पत्ते $= 52$
इक्कों की संख्या $= 4$ $P (इक्का) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

उत्तर: $\frac{1}{13}$

अथवा

9409 का भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: $\sqrt{9409} = 97$

सत्यापन: $97 \times 97 = 9409$

प्रश्न 16. $(x - 10) (x - 10)$ का गुणनखंडन कीजिए।
उत्तर: $(x - 10) (x - 10) = (x - 10)^{2}$

सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ से: $(x - 10)^{2} = x^{2} - 20 x + 100$

उत्तर: $(x - 10)^{2} = x^{2} - 20 x + 100$

अथवा

$x^{2} - 11 x + 30$ को $(x - 5)$ से भाग दीजिए।
उत्तर: $x^{2} - 11 x + 30 = (x - 5) (x - 6)$

अतः भागफल $= x - 6$
उत्तर: $x - 6$

प्रश्न 17. हल कीजिए —
(1) $(7 x - 6) (15 x - 2)$ $= 7 x (15 x - 2) - 6 (15 x - 2)$ $= 105 x^{2} - 14 x - 90 x + 12$ $= 105 x^{2} - 104 x + 12$

(2) $(x + y) (2 y + 3 x) + (3 x + y) (y + 2 x)$

पहला पद: $(x + y) (2 y + 3 x) = x (2 y + 3 x) + y (2 y + 3 x)$ $= 2 x y + 3 x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y$ $= 3 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2}$

दूसरा पद: $(3 x + y) (y + 2 x) = 3 x (y + 2 x) + y (y + 2 x)$ $= 3 x y + 6 x^{2} + y^{2} + 2 x y$ $= 6 x^{2} + 5 x y + y^{2}$

योग: $(3 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2}) + (6 x^{2} + 5 x y + y^{2})$ $= 9 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}$

उत्तर: $9 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}$

अथवा

(1) एक संतरे का मूल्य 48 रुपये है तो 108 संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यहाँ दिया गया है कि 2 दर्जन संतरों का मूल्य 48 रुपये है (प्रश्न में “एक संतरे” के स्थान पर “एक दर्जन” होना चाहिए, क्योंकि 108 संतरों का मूल्य निकालने के लिए इकाई मूल्य आवश्यक है)। $2 दर्जन = 24 संतरे = 48 रुपये$ $1 संतरा = \frac{48}{24} = 2 रुपये$ $108 संतरे = 108 \times 2 = 216 रुपये$

उत्तर: 216 रुपये

(2) एक वृत्ताकार बगीचे का व्यास 10 मीटर है। बगीचे का क्षेत्रफल निकालिए।
उत्तर: $व्यास = 10 मी, त्रिज्या = r = 5 मी$ $क्षेत्रफल = π r^{2} = 3.14 \times 5^{2}$ $= 3.14 \times 25 = 78.5 वर्ग मीटर$

उत्तर: $78.5$