त्रिभुज तीन रेखाखंडों से घिरी हुई एक बंद समतलीय आकृति है। इसमें 3 भुजाएँ, 3 शीर्ष (कोने) और 3 कोण होते हैं। त्रिभुज के गुणधर्मों को मुख्यतः पाँच वर्गों में बाँटा जाता है। यहाँ सम्पूर्ण जानकारी दी गई है:
1. मूलभूत (आधारभूत) गुणधर्म
- कोणों का योगफल (Angle Sum Property): त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग 180° (दो समकोण) के बराबर होता है।
(∠A + ∠B + ∠C = 180°) - बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem): त्रिभुज का कोई भी बाह्य कोण, उसके दो विपरीत अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।
- भुजाओं का योग/अंतर नियम: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है, और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से छोटा होता है।
2. वर्गीकरण (भुजाओं और कोणों के आधार पर)
| भुजाओं के आधार पर | कोणों के आधार पर |
|---|---|
| समबाहु (Equilateral): तीनों भुजाएँ समान, प्रत्येक कोण 60°। | न्यूनकोण (Acute): तीनों कोण 90° से कम। |
| समद्विबाहु (Isosceles): दो भुजाएँ समान, इनके सामने के कोण भी समान। | समकोण (Right): एक कोण 90° (पाइथागोरस लागू)। |
| विषमबाहु (Scalene): तीनों भुजाएँ असमान, तीनों कोण असमान। | अधिककोण (Obtuse): एक कोण 90° से अधिक। |
3. चार विशेष रेखाएँ तथा उनके केंद्र (Centres of Triangle)
| रेखा | परिभाषा | केंद्र (संगमन बिंदु) | विशेषता |
|---|---|---|---|
| माध्यिका (Median) | शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा। | केन्द्रक (Centroid) | माध्यिका परस्पर 2:1 के अनुपात में काटती हैं (शीर्ष से आधार की ओर)। |
| शीर्षलम्ब (Altitude) | शीर्ष से विपरीत भुजा पर डाला गया लम्ब। | लम्बकेन्द्र (Orthocenter) | समकोण त्रिभुज में यह समकोण वाले शीर्ष पर होता है। |
| कोण समद्विभाजक (Angle Bisector) | कोण को दो बराबर भागों में बाँटने वाली रेखा। | अन्तःकेन्द्र (Incenter) | यह त्रिभुज के अंतःवृत्त का केंद्र होता है (सभी भुजाओं से समान दूरी)। |
| भुजा समद्विभाजक (Perp. Bisector) | भुजा के मध्य बिंदु पर खींचा गया लम्ब। | परिकेन्द्र (Circumcenter) | यह त्रिभुज के परिवृत्त का केंद्र होता है (तीनों शीर्षों से समान दूरी)। |
4. सर्वांगसमता (Congruence) और समरूपता (Similarity) के नियम
सर्वांगसम (बिल्कुल बराबर): (SAS, ASA, AAS, SSS, RHS)
- RHS नियम: केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू (कर्ण और एक भुजा बराबर)।
समरूप (आकार एक जैसा, आकार भिन्न): (AAA, SAS, SSS)
- AAA (कोण-कोण-कोण): यदि दोनों के संगत कोण बराबर हों, तो भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
5. महत्वपूर्ण गणितीय प्रमेय (Theorems)
- पाइथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज):
(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
(पाइथागोरस त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25) - थेल्स प्रमेय (Basic Proportionality Theorem): किसी त्रिभुज में, यदि एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
- अपोलोनियस प्रमेय: माध्यिका और भुजाओं में संबंध (किसी भी त्रिभुज के लिए)।
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