अपवर्त्य या गुणज (Multiple): लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

जैसे :- 4, 8, 12 का लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 3 = 24,

अतः अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य 24 वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो 4, 8, 12 तीनों से पूरी-पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

अपवर्त्य (Multiple), जिसे गुणज भी कहते हैं, वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या को किसी प्राकृत संख्या (Natural Number: 1, 2, 3, …) से गुणा करने पर प्राप्त होती है।

यदि कोई संख्या B, किसी संख्या A से पूरी तरह विभाजित (Exactly divisible) हो जाती है, तो B को A का अपवर्त्य (या गुणज) कहा जाता है।

गणितीय रूप में: B = A x n

जहाँ:

• A वह मूल संख्या है जिसका गुणज ज्ञात करना है।
• n कोई भी प्राकृत संख्या (1, 2, 3,……) है।
• B अपवर्त्य (या गुणज) है।

मुख्य विशेषताएँ (Key Characteristics)

• 1. अनगिनत होते हैं (Infinite): किसी भी संख्या के गुणज अनंत होते हैं, क्योंकि आप उसे 1, 2, 3, …….. से गुणा करते जा सकते हैं।
• 2. सबसे छोटा गुणज (Smallest Multiple): किसी भी संख्या का सबसे छोटा या पहला गुणज वह संख्या स्वयं होती है (जब n=1 होता है)।
  • उदाहरण: 5 का सबसे छोटा गुणज 5x 1 = 5 है।
• 3. गुणज हमेशा संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है: कोई भी गुणज (Multiple) अपनी मूल संख्या A से कभी भी छोटा नहीं हो सकता।

लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

• अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
• भाग विधि द्वारा

(a). अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

सर्वप्रथम दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के रूप में व्यक्त करें। फिर इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों के सबसे बड़े घातांकों वाली संख्याओं का प्राप्त गुणनखण्ड ही लघुत्तम समापवर्त्य हैं।

उदाहरण 1. 32, 64 तथा 128 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्नानुसार,
32 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵
64 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
48 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3 की सबसे बड़े घातांकों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2⁶ × 3¹
लघुत्तम समापवर्त्य = 96

उदाहरण 2. 12, 48, 72 तथा 120 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्नानुसार,
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3¹ × 5¹
लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3 तथा 5 की सबसे बड़ी घातों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2⁴ × 3² × 5¹
लघुत्तम समापवर्त्य = 16 × 9 × 5
लघुत्तम समापवर्त्य = 720
Ans. 720

(b). भाग विधि द्वारा

उदाहरण 3. 24, 48, 96, 192 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁶ × 3¹
लघुत्तम समापवर्त्य = 192

उदाहरण 4. 32, 56, 78, 120 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 13
लघुत्तम समापवर्त्य = 32 × 15 × 91
लघुत्तम समापवर्त्य = 43,680

1. भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समापवर्त्य / हरों का महत्तम समापवर्तक

उदाहरण 5. 7/9, 14/15 तथा 7/10 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्ननानुसार,
दी गई भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = 7, 14, 7 का लघुत्तम समापवर्त्य / 9, 15, 10 का महत्तम समापवर्तक
= 14/1
= 14

उदाहरण 6. 2/5, 3/4, 1/9 तथा 7/10 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्ननानुसार,
दी गई भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3, 1, 7 का लघुत्तम समापवर्त्य / 5, 4, 9, 10 का महत्तम समापवर्तक
= 42/1
= 42

2. घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य

(a). जब दी गयी संख्याओं का आधार समान हो, तो सर्वाधिक घात वाली संख्या ही दिए गए संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

उदाहरण 7. 5¹, 5², 5⁴, 5⁶ तथा 5¹² का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- समान आधार पर 5 हैं। तथा अधिकतम घात 5¹² का हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य = 5¹²

उदाहरण 8. 5⁻¹, 5⁻², 5⁻⁴, 5⁻⁶ तथा 5⁻¹² का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- आधार 5 समान हैं तथा अधिकतम घात 5⁻¹ की हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य = 5⁻¹

(b). जब आधार समान नहीं हो तथा आधार में कोई उभयनिष्ठ गुणन खण्ड नहीं हो, तो दिए गए संख्याओं का गुणनखण्ड ही लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

उदाहरण 9. 5³ तथा 2³ का लघुत्तम समापवर्त्य = 5³ × 2³

लघुत्तम समापवर्त्य = 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2
लघुत्तम समापवर्त्य = 125 × 8
लघुत्तम समापवर्त्य = 1000

3. दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

(a). सबसे पहले दशमलव के बाद अधिकतम अंकों वाली संख्या का पता लगाइए।

(b). यदि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हो, तो सभी अंकों में 100 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

अगर दशमलव के बाद अधिकतम तीन, चार या पाँच अंक हो, तो उसमें क्रमशः 1000, 10000 या 100000 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

(c). प्राप्त पूर्ण संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करेंगें। उसके बाद प्राप्त लघुत्तम समापवर्त्य में 100, 1000, 10000 से गुणा किया गया था। भाग देने के बाद जो संख्या प्राप्त होगी वही दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

उदाहरण10. 0.12, 4.8, 0.72 तथा 1.20 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- यहाँ दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 12, 480, 72, 120

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य = 1440
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = 1440/100
लघुत्तम समापवर्त्य = 14.40

प्रश्न 1: 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
(a) 24
(b) 36
(c) 48
(d) 60

प्रश्न 2: संख्या 15, 20 और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?
(a) 75
(b) 100
(c) 150
(d) 200

प्रश्न 3: भिन्नों 2/5, 3/10 और 7/15 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
(a) 21
(b) 42
(c) 7
(d) 14

प्रश्न 4: यदि 5¹, 5², 5⁴, 5⁶ और 5¹² दी गई हैं, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगा —
(a) 5⁶
(b) 5⁸
(c) 5¹²
(d) 5²

प्रश्न 5: 0.12, 4.8, 0.72 और 1.20 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?
(a) 1.44
(b) 14.40
(c) 144.0
(d) 0.144