समान समूह कक्षा 4 गणित मेला (Equal Groups Class 4 Mathematics)

अध्याय 9: समान समूह (Equal Groups)

कक्षा 4 (Class 4) – गणित मेला (Ganit Mela)

1. अधिगम उद्देश्य (Learning Objectives)

इस अध्याय के अंत तक छात्र/छात्राएँ… (By the end of this chapter, students will…)

• (संज्ञानात्मक / Cognitive): गुणा (Multiplication) को समान समूहों (Equal Groups) के बार-बार जोड़ (Repeated Addition) के रूप में समझ पाएँगे तथा भाग (Division) को समान-समूहों में बाँटने (Sharing) की प्रक्रिया के रूप में समझ पाएँगे। (Understand multiplication as repeated addition of equal groups and division as sharing into equal groups.)
• (कौशल / Skill): 2-अंकीय और 3-अंकीय संख्याओं को 1-अंकीय संख्याओं से गुणा कर पाएँगे तथा आंशिक-भागफल (Partial Quotient) विधि से भाग के प्रश्न हल कर पाएँगे। (Multiply 2-digit and 3-digit numbers by 1-digit numbers and solve division problems using the partial quotient method.)
• (अनुप्रयोग / Application): 1 से 10 तक की गुणन-सारणी (Multiplication Tables) को पहचान पाएँगे, गुणन सारणी (पृष्ठ 153) में पैटर्न (Patterns) ढूँढ़ पाएँगे और उनका उपयोग करके गुणा/भाग के शाब्दिक प्रश्नों को हल कर पाएँगे। (Recognize multiplication tables 1-10, identify patterns in the multiplication grid (page 153), and use them to solve word problems.)
• (विश्लेषण / Analysis): 10, 100, 1000 के गुणजों (Multiples) में पैटर्न का विश्लेषण कर पाएँगे और यह समझ पाएँगे कि गुणा और भाग व्युत्क्रम (Inverse) संक्रियाएँ हैं। (Analyze patterns in multiples of 10, 100, 1000 and understand that multiplication and division are inverse operations.)

2. आवश्यक सामग्री (Materials Required)

3. दिन-वार पाठ-योजना (Day-wise Lesson Breakup)

दिन 1 (Day 1): गुणा = बार-बार जोड़ / समान समूह (Multiplication = Repeated Addition / Equal Groups)

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• जंतुओं की छलाँग (पृष्ठ 146-148) – कहानी पढ़ाएँ:
  • “मेंढक एक बार में 3 कदम कूदता है – वह किन-किन संख्याओं पर पहुँचेगा?” (0, 3, 6, 9, 12, 15…) – 3 की गुणज (Multiples of 3)।
  • “गिलहरी एक बार में 4 कदम कूदती है – किन संख्याओं पर?” (0, 4, 8, 12, 16, 20…) – 4 की गुणज।
  • “खरगोश 6 कदम, कंगारू 8 कदम – किन सामान्य (Common) संख्याओं पर पहुँचते हैं?” (24, 48, 72…) – सार्व गुणज (Common Multiples)।
• गुणा = बार-बार जोड़ (Repeated Addition) समझाएँ:
  • 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 → 5 × 3 = 15 (5 समूह, प्रत्येक में 3)।
• पृष्ठ 149 – गुलाबो का उद्यान – “12 कुमुदिनी के पुष्प, प्रत्येक में 3 पंखुड़ियाँ – कुल पंखुड़ियाँ = 12 × 3”
  • 10 × 3 = 30 और 2 × 3 = 6 → 30 + 6 = 36 पंखुड़ियाँ।

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• पृष्ठ 146-148 पर जंतुओं की छलाँग की संख्याएँ लिखें:
  • “मेंढक किन संख्याओं पर पहुँचेगा?” (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60…)
  • “क्या मेंढक 67 पर पहुँचेगा?” (नहीं, क्योंकि 67, 3 से विभाज्य नहीं है)।
  • “खरगोश और कंगारू की सामान्य संख्याएँ” (24, 48, 72, 96…)
• व्यावहारिक गतिविधि: 20 कंकड़ लें। उन्हें 5 समूहों (4-4 कंकड़) में बाँटें → 5 × 4 = 20। फिर 4 समूह (5-5) में बाँटें → 4 × 5 = 20।
• पृष्ठ 149 (प्रश्न 3-4) – पंक्तियों और स्तंभों में वस्तुओं को गिनें:
  • (क) “प्रत्येक पंक्ति में 5 पौधे, 3 पंक्तियाँ → 5 × 3 = 15 पौधे”
  • (ख) “अंगूर के डिब्बे – 4 स्तंभ, प्रत्येक में 6 डिब्बे → 4 × 6 = 24 डिब्बे”

दिन 2 (Day 2): गुणन-सारणी और पैटर्न (Multiplication Tables & Patterns)

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• “दुगुने का जादू” (पृष्ठ 151-152) – अन्वी जादूगरनी की कहानी:
  • पहले 23 पुष्प → दुगुने (Double) → 46 पुष्प (23 × 2 = 46)।
• गुणन सारणी (Multiplication Grid) – पृष्ठ 153 का बड़ा चार्ट दिखाएँ (1-10 तक की पंक्तियाँ और स्तंभ)।
• पैटर्न (Patterns) खोजें – छात्रों से पूछें (पृष्ठ 153-154):
  • “हरे रंग से छायांकित संख्याओं में क्या विशेष है?” (वे वर्ग संख्याएँ हैं – 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)।
  • “पंक्ति 7 की संख्याएँ स्तंभ 7 की संख्याओं के समान क्यों हैं?” (गुणा क्रमविनिमेय / Commutative है – 7×3 = 3×7)।
  • “कौन-सी पंक्तियों में सभी गुणनफल सम संख्याएँ हैं?” (2, 4, 6, 8, 10 – क्योंकि सम × कुछ भी = सम)।
  • “क्या कोई पंक्ति है जिसमें सभी गुणनफल विषम हैं?” (नहीं, क्योंकि 1×विषम = विषम, लेकिन 1×सम = सम → इसलिए केवल विषम नहीं)।
• इकाई अंक का पैटर्न (Unit Digit Pattern) – पंक्ति 8 में: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 – इकाई अंक: 8, 6, 4, 2, 0, 8, 6, 4, 2, 0 (हर 5वें पर दोहराता है)।

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• अपनी कॉपी पर 1 से 10 तक की गुणन सारणी (जैसा पृष्ठ 153) बनाएँ (या दी गई शीट पर)।
• पैटर्न ढूँढ़ें – अपनी सारणी में:
  • (क) “5 की पंक्ति में इकाई अंक क्या है?” (5, 0, 5, 0…)।
  • (ख) “9 की पंक्ति में इकाई अंक क्या है?” (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0) – उल्टा क्रम।
  • (ग) “किस पंक्ति में 0 से 9 तक सभी अंक इकाई अंक के रूप में आए हैं?” (पंक्ति 10 – सभी 0, लेकिन कोई भी एकल-अंकीय पंक्ति में नहीं; वास्तव में, 2,3,4,5,6,7,8,9 की पंक्तियों में कुछ दोहराव होते हैं)।
• पृष्ठ 154 (प्रश्न 12) – × 8 में इकाई अंक 0 कब आता है? (जब गुणक 5, 10, 15, 20… हो) – 5 उदाहरण लिखें (5×8=40, 10×8=80, 15×8=120, 20×8=160, 25×8=200)।
• पृष्ठ 155 (प्रश्न 1-2) – तिपहिया साइकिल और कारों के पहियों को गिनें – 10, 20, 30 के गुणजों का अभ्यास।

दिन 3 (Day 3): 10 के गुणजों से गुणा (Multiplying by Multiples of 10)

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• “दस (10) का उपयोग करके गुणा” (पृष्ठ 156-157):
  • “18 डिब्बे, प्रत्येक में 4 कपकेक → 18 × 4 = (10×4) + (8×4) = 40 + 32 = 72”
  • “23 गाड़ियाँ, प्रत्येक में 8 डंडे → 23 × 8 = (20×8) + (3×8) = 160 + 24 = 184”
• “100 के गुणज” (पृष्ठ 160-161):
  • 100 × 2 = 200, 100 × 4 = 400, 200 × 4 = 800 (समूहों को 100, 200, 300… में बदलकर)।
• पैटर्न अवलोकन (पृष्ठ 161):
  • 1×3 = 3, 10×3 = 30, 100×3 = 300, 400×3 = 1200 – हर बार 10/100 गुना बढ़ने पर उत्तर में उतने ही शून्य जुड़ते हैं।

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• पृष्ठ 156 (प्रश्न 1-2) – राधा के कपकेक और बैलगाड़ी के डंडों की गणना:
  • (क) “18 × 4 = 72”
  • (ख) “23 × 8 = 184”
• पृष्ठ 157 – “आइए हल करते हैं” (प्रश्न 1-5):
  • (क) “25 हंस × 2 पैर + 12 भेड़ × 4 पैर = 50 + 48 = 98 पैर”
  • (ख) “8 विद्यार्थी × 15 पंक्तियाँ = 120 विद्यार्थी”
  • (ग) “9 पुस्तकें × 14 बक्से = 126 पुस्तकें”
• त्वरित अभ्यास (पृष्ठ 161):
  • 2×4 = 8, 20×4 = 80, 200×4 = 800 – पैटर्न पहचानें।
  • 3×9 = 27, 30×9 = 270, 300×9 = 2700 – शून्य जुड़ने का नियम।
• पृष्ठ 162-163 (प्रश्न 1-3) – और अधिक गुणा:
  • (क) “125 ऑटो × 8 यात्री = (100×8)+(20×8)+(5×8) = 800+160+40 = 1000”
  • (ख) “174 डिब्बे × 6 कुल्हड़ = (100×6)+(70×6)+(4×6) = 600+420+24 = 1044”
  • (ग) “465 विद्यार्थी × 2 पेंसिल = (400×2)+(60×2)+(5×2) = 800+120+10 = 930”

दिन 4 (Day 4): भाग (Division) – आंशिक-भागफल (Partial Quotient) विधि

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• भाग (Division) का परिचय – “58 पहियों से 3 पहियों वाले कितने टेंपो बन सकते हैं?” (पृष्ठ 158)।
  • आंशिक-भागफल (Partial Quotient) विधि:text58 ÷ 3 10 टेंपो → 30 पहिए, शेष 28 5 टेंपो → 15 पहिए, शेष 13 3 टेंपो → 9 पहिए, शेष 4 1 टेंपो → 3 पहिए, शेष 1 कुल = 10+5+3+1 = 19 टेंपो, शेषफल 1 पहिया
• “आइए हल करते हैं” (पृष्ठ 159):
  • “88 पैर → गायों की संख्या = 88 ÷ 4 = 22” (क्योंकि गाय के 4 पैर)।
  • “72 पैर → ऑक्टोपस = 72 ÷ 8 = 9” (क्योंकि ऑक्टोपस के 8 पैर)।
• मापन (Measurement) प्रकार की भाग समस्या: “50 शटलकॉक, 4 प्रति डिब्बा → कितने डिब्बे?” (50 ÷ 4 = 12 डिब्बे, शेष 2 शटलकॉक)।

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• पृष्ठ 158 – टेंपो के उदाहरण को अपनी कॉपी में हल करें और प्रत्येक चरण को लिखें।
• पृष्ठ 159 (प्रश्न 1-4) – भाग के प्रश्न:
  • (क) “88 ÷ 4 = 22 गायें”
  • (ख) “72 ÷ 8 = 9 ऑक्टोपस”
  • (ग) “50 ÷ 4 = 12 डिब्बे, शेष 2”
  • (घ) “75 पौधे ÷ 5 प्रति पंक्ति = 15 पंक्तियाँ”
• पृष्ठ 160 – 100 के गुणज (भाग का संबंध):
  • 100 × 2 = 200, 200 × 2 = 400 – गुणा और भाग का संबंध समझें।
  • 500 × 4 = 2000 (क्योंकि 500×4 = (5×4)×100 = 20×100 = 2000)।
• पृष्ठ 161 – “प्रतिरूप (पैटर्न) का अवलोकन” – 2×4=8, 20×4=80, 200×4=800 – 10/100 के गुणजों में पैटर्न।

दिन 5 (Day 5): भाग (Division) – और अधिक अभ्यास (More Division Practice)

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• पृष्ठ 163 – “और अधिक विभाजन” – कावेरी नदी पर 108 व्यक्तियों को 9 नावों में बाँटना:
  • “प्रत्येक नाव में 10 व्यक्ति → 9×10 = 90, शेष 18 → 9×2 = 18 → कुल 10+2 = 12 व्यक्ति प्रति नाव”
• “विभाजन में प्रतिरूप” (पृष्ठ 164):
  • 3 ÷ 3 = 1, 30 ÷ 3 = 10, 300 ÷ 3 = 100 – 10/100 गुना बढ़ने पर भागफल भी 10/100 गुना बढ़ता है।
  • 9 ÷ 3 = 3, 90 ÷ 3 = 30, 900 ÷ 3 = 300
• “आइए हल करते हैं” (पृष्ठ 165):
  • (क) “245 विद्यार्थी ÷ 7 बसें = 35 विद्यार्थी प्रति बस” (क्योंकि 7×30=210, शेष 35 → 7×5=35 → 30+5=35)।
  • (ख) “88 कि.मी. × 7 दिन = 616 कि.मी.” (88×7 = (80×7)+(8×7) = 560+56=616)।

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• पृष्ठ 163 – 108 ÷ 9 का हल अपनी कॉपी में लिखें।
• पृष्ठ 164 (प्रश्न 1-4) – विभाजन की समस्याएँ:
  • (क) “60 पहिये ÷ 6 (ट्रक) = 10 ट्रक”
  • (ख) “80 पहिये ÷ 4 (कार) = 20 कारें”
  • (ग) “600 पैर ÷ 6 (चींटी) = 100 चींटियाँ”
  • (घ) “800 रबर बैंड ÷ 4 प्रति थैली = 200 थैलियाँ”
• पृष्ठ 165 (प्रश्न 6-7) – अभ्यास:
  • (क) 45 × 9 = 405
  • (ख) 507 × 7 = 3549
  • (ग) 94 ÷ 4 = 23, शेष 2 (4×20=80, शेष 14 → 4×3=12, शेष 2 → 20+3=23, शेष 2)
  • (घ) 778 ÷ 6 = 129, शेष 4 (6×100=600, शेष 178 → 6×20=120, शेष 58 → 6×9=54, शेष 4 → 100+20+9=129, शेष 4)

दिन 6 (Day 6): समीक्षा, मूल्यांकन और अध्याय-अंत अभ्यास (Review, Assessment & Chapter-end Practice)

शिक्षक की गतिविधि (Teacher’s Activity):

• पृष्ठ 166 – “गणित में कथन” – सदैव सत्य, सदैव असत्य, कभी-कभी सत्य:
  • (क) “10 से गुणा करने पर इकाई अंक 0 आता है” → सदैव सत्य
  • (ख) “2 से गुणा करने पर विषम संख्या आती है” → सदैव असत्य (2×सम = सम, 2×विषम = सम – हमेशा सम)
  • (ग) “5 से गुणा करने पर इकाई अंक 5 आता है” → कभी-कभी सत्य (5×सम = 0, 5×विषम = 5)
  • (घ) “विषम संख्या के तुरंत बाद सम संख्या आती है” → सदैव सत्य
  • (ङ) “किसी संख्या को आधा करने पर सम संख्या आती है” → कभी-कभी सत्य (10/2=5 विषम, 12/2=6 सम)
  • (च) “संख्या में 0 जोड़ने पर वह 1 अंक बढ़ जाती है” → सदैव असत्य (संख्या वही रहती है)
• त्वरित मूल्यांकन (Quick Quiz):
  1. “34 × 6 = ?” (204)
  2. “56 ÷ 7 = ?” (8)
  3. “25 × 4 = ?” (100)
  4. “72 ÷ 8 = ?” (9)
  5. “8 × 9 = ?” (72)
  6. “81 ÷ 9 = ?” (9)

छात्र की गतिविधि (Student’s Activity):

• पृष्ठ 166 – सभी कथनों को तीन स्तंभों (सदैव सत्य, सदैव असत्य, कभी-कभी सत्य) में बाँटें।
• गुणा/भाग के मिश्रित अभ्यास – निम्नलिखित प्रश्नों को अपनी कॉपी में हल करें:
  • (क) 46 × 7 = (322)
  • (ख) 83 × 5 = (415)
  • (ग) 96 ÷ 8 = (12)
  • (घ) 144 ÷ 6 = (24)
  • (ङ) 67 × 4 = (268)
  • (च) 528 ÷ 3 = (176)
• स्वयं के प्रश्न बनाएँ – प्रत्येक छात्र 2 गुणा और 2 भाग के शाब्दिक प्रश्न बनाएँ और अपने साथी से हल करवाएँ।

4. आकलन (Assessment / मूल्यांकन)

5. गृहकार्य / परियोजना कार्य (Homework / Project Work)

• (परियोजना – पृष्ठ 149/150): अपने घर में किसी एक वस्तु (जैसे – एक अंडा ट्रे, एक चॉकलेट बॉक्स) को पंक्तियों और स्तंभों में सजाकर गुणा करें – “प्रत्येक पंक्ति में कितनी चीज़ें, कितनी पंक्तियाँ → कुल कितनी?” – उसका चित्र बनाएँ और गुणन कथन लिखें।
• (परियोजना – पृष्ठ 166): “सदैव सत्य/असत्य/कभी-कभी” वाले 5-5 नए कथन स्वयं बनाएँ (गुणा और भाग से संबंधित) और उन्हें सही स्तंभ में रखें।
• (गृहकार्य): अपनी कॉपी में 10 गुणा और 10 भाग के प्रश्न (2-अंकीय/3-अंकीय × 1-अंकीय) बनाएँ और हल करें।
• अभ्यास: गुणन सारणी (2 से 10 तक) को रोज़ 5-5 मिनट याद करें। कक्षा में अगले दिन टेबल-टेस्ट होगा।

6. शिक्षण संकेत (Teaching Tips / सुझाव)

• गुणा = “समान समूहों का योग” – इस अवधारणा को बार-बार दोहराएँ। 5×3 का अर्थ है 3+3+3+3+3 (5 बार 3) या 5+5+5 (3 बार 5) – दोनों एक ही हैं (क्रमविनिमेयता / Commutativity)।
• आंशिक-भागफल विधि (Partial Quotient Method): यह विधि बच्चों के लिए लंबी विभाजन (Long Division) से अधिक सरल है क्योंकि वे 10, 5, 2 जैसे आसान गुणकों से भाग करते हैं और धीरे-धीरे शेषफल को कम करते हैं। इस विधि को “बार-बार घटाना” (Repeated Subtraction) के रूप में समझाएँ।
• गुणन सारणी (Multiplication Grid) का उपयोग: पृष्ठ 153 की सारणी को कक्षा में चार्ट पर लगाएँ। बच्चों को पंक्तियों और स्तंभों में पैटर्न खोजने दें – यह उन्हें सारणियाँ याद करने में मदद करता है (जैसे – 5 की पंक्ति में इकाई अंक 5/0, 9 की पंक्ति में इकाई अंक 9,8,7…0)।
• गुणा और भाग के बीच संबंध (Inverse Relationship): हर गुणा के प्रश्न को भाग के रूप में बदलकर दिखाएँ – 3 × 4 = 12 → 12 ÷ 3 = 4 और 12 ÷ 4 = 3। इससे भाग की अवधारणा स्पष्ट होती है।
• समावेशन (Inclusion): जो छात्र गुणा/भाग में कमजोर हैं, उन्हें पहले स्किप-काउंटिंग (Skip-counting – 2,4,6,8…) का अभ्यास कराएँ, फिर गुणा सारणी पर जाएँ। तेज़ छात्रों को 4-अंकीय × 1-अंकीय गुणा (जैसे – 3456 × 7) की चुनौती दें।

7. अंग्रेजी माध्यम के लिए विशेष सुझाव (Tips for English Medium Teachers)

• Key Vocabulary to Emphasize: Equal Groups, Repeated Addition, Multiplication, Multiply, Product, Factor, Division, Divide, Quotient, Remainder, Partial Quotient, Skip-counting, Table/Grid, Pattern, Multiple, Common Multiple, Inverse Operation, Commutative Property.
• Bilingual Board Strategy:
  समान समूह = Equal Groups | गुणा = Multiplication | भाग = Division
  गुणनफल = Product | भागफल = Quotient | शेषफल = Remainder
  गुणन सारणी = Multiplication Table | आंशिक-भागफल = Partial Quotient
• “Skip Counting Song”: Sing a skip-counting song for each table (2, 4, 6, 8, 10…). Music helps memorization.
• “Math Story Writing”: Ask students to write a short story problem for a given multiplication/division equation. (e.g., “There are 5 bags with 4 apples each. How many apples in total?” → 5×4=20).
• Real Life Connection: Use classroom objects (books, pencils, chairs) to create real multiplication/division problems. “If there are 4 rows with 6 chairs each, how many chairs in total?” (24).
• Code-switching Word Problems:
  • “Raju has 4 boxes. Each box has 5 pencils. How many pencils does he have in total?” (राजू के पास 4 डिब्बे हैं। प्रत्येक डिब्बे में 5 पेंसिलें हैं – कुल कितनी पेंसिलें हैं?) – Answer: 20.
  • “There are 48 students. They are divided into 6 equal groups. How many students in each group?” (48 विद्यार्थी, 6 बराबर समूहों में बाँटे गए – प्रत्येक समूह में कितने?) – Answer: 8.

निष्कर्ष (Conclusion): यह अध्याय बच्चों को गुणा (Multiplication) और भाग (Division) की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित कराता है – जो गणित के सबसे महत्वपूर्ण स्तंभ हैं। “जंतुओं की छलाँग” (Skip-counting), गुणन सारणी (Multiplication Grid) में पैटर्न (Patterns), और आंशिक-भागफल (Partial Quotient) विधि – ये सभी बच्चों को गुणा और भाग को उनके आस-पास की दुनिया से जोड़ने में मदद करते हैं। यह अध्याय NEP 2020 के ‘खोज-आधारित शिक्षण’ (Discovery-based Learning) और ‘अनुभवात्मक अधिगम’ (Experiential Learning) के सिद्धांतों पर पूरी तरह खरा उतरता है।