परिमाप (Perimeter)
सामान्य नियम: त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।
- सूत्र: P = a + b + c (जहाँ a, b, c तीनों भुजाएँ हैं)
विशेष स्थितियाँ:
- समबाहु (Equilateral): P = 3 × भुजा (क्योंकि a = b = c)
- समद्विबाहु (Isosceles): P = 2 × (बराबर भुजा) + (आधार)
- विषमबाहु (Scalene): P = a + b + c (सामान्य सूत्र लागू)
क्षेत्रफल (Area) – सभी सूत्र एक नजर में
| स्थिति / त्रिभुज का प्रकार | सूत्र (Formula) | कब उपयोग करें? |
|---|---|---|
| सामान्य (आधार × ऊँचाई) | ½ × आधार × ऊँचाई | जब त्रिभुज का आधार और उस पर खींचा गया लंब (ऊँचाई) पता हो। |
| समकोण (Right-angled) | ½ × (लम्ब) × (आधार) | इसका कर्ण (Hypotenuse) कभी आधार नहीं बनता; बाकी दो भुजाएँ ही आधार और ऊँचाई हैं। (जैसे 3-4-5 वाला त्रिभुज, क्षेत्रफल = ½ × 3 × 4) |
| समबाहु (Equilateral) | (√3 / 4) × (भुजा)² | जब त्रिभुज की एक ही भुजा पता हो (ऊँचाई अलग से निकालने की जरूरत नहीं)। |
| समद्विबाहु (Isosceles) | (b / 4) × √(4a² – b²) | जहाँ ‘a’ बराबर भुजा है और ‘b’ आधार (असमान भुजा) है। |
| केवल तीनों भुजाएँ दी हों (हीरोन का सूत्र) | √[ s(s-a)(s-b)(s-c) ] | जब ऊँचाई न दी गई हो, केवल तीनों भुजाएँ (a, b, c) दी हों। (यहाँ ‘s’ अर्ध-परिमाप है: s = (a+b+c)/2) |
🌟 इन दोनों के बीच का गहरा संबंध (जरूरी ट्रिक)
- अर्ध-परिमाप (Semi-perimeter) ‘s’ ही वह कड़ी है जो परिमाप और क्षेत्रफल को जोड़ती है।
- जब भी आप हीरोन का सूत्र लगाएँ, पहले ‘s’ निकालना न भूलें।
- किसी भी त्रिभुज में, यदि परिमाप स्थिर (Fixed) रहे, तो समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सबसे अधिक (Maximum) होता है।
✅ उदाहरण (Numerical) से समझें:
प्रश्न: एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी, और 5 सेमी हैं। इसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- परिमाप: P = 3 + 4 + 5 = 12 सेमी
- क्षेत्रफल (विधि 1 – समकोण): चूँकि 3-4-5 त्रिक है, यह समकोण त्रिभुज है। क्षेत्रफल = ½ × 3 × 4 = 6 वर्ग सेमी
- क्षेत्रफल (विधि 2 – हीरोन से पुष्टि):
s = 12/2 = 6 सेमी
क्षेत्रफल = √[6 × (6-3) × (6-4) × (6-5)] = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6 वर्ग सेमी (दोनों उत्तर मिल गए)।
⚠️ इकाइयों (Units) में गलती न करें
- परिमाप हमेशा रैखिक इकाई में होता है: सेमी, मीटर, इंच आदि।
- क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाई में होता है: वर्ग सेमी (cm²), वर्ग मीटर (m²) आदि।
- यदि आधार मीटर में है और ऊँचाई सेमी में है, तो पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलें, नहीं तो गणना गलत हो जाएगी