बहुभुज कक्षा 8 गणित
तीन या तीन से अधिक रेखाखंडों से घिरी हुई बंद आकृति बहुभुज कहलाती है।
बहुभुज के सभी भुजाओं की लम्बाई एवं सभी कोण बराबर हों तो उसे सम बहुभुज क्षेत्र या नियमित बहुभुज क्षेत्र कहते हैं।
जिन बहुभुज में भुजाओं की लम्बाई भिन्न-भिन्न होती है उसे अनियमित बहुभुज क्षेत्र कहते हैं।
यदि किसी बहुभुज क्षेत्र में भुजाओं की संख्या n है तो एक शीर्ष से सभी विपरीत शीर्षों को मिलाने पर क्षेत्र (n-2) त्रिभुजों में बँट जाता है।
किसी बहुभुज क्षेत्र के सभी अंतःकोणो का योग (n-2)x1800 होता है। तो एक बहुभुज में भुजाओं की संख्या 8 है तो उसके अंतः कोणों का योग कितना होगा।
समान्तर चतुर्भुज, आयत, वर्ग एवं समचतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद बिन्दु पर समद्विविभाजित होते हैं।
वर्ग एवं आयत के दोनों विकर्ण आपस में बराबर होते हैं।
वर्ग एवं समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित होते हैं।
वह बहुभुज क्षेत्र जिसका प्रत्येक कोण 180° से कम हो उसे उत्तल बहुभुज कहते हैं।
वह बहुभुज क्षेत्र जिसमें कम से कम एक अंतःकोण 180° से अधिक हो अवतल बहुभुज क्षेत्र कहलाता है।
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा व सम्मुख कोणों की माप आपस में बराबर होती है।
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें ∠ C=75° है तो शेष कोण ज्ञात कीजिए।
किसी समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं की लम्बाई क्रमशः 8 सेमी व 6 सेमी हो तो उसका परिमाप होगा।
(i) 14 सेमी (ii) 28 सेमी (iii) 56 सेमी (iv) 60 सेमी
एक समान्तर चतुर्भुज के दो कोणों का अनुपात 4:5 है समान्तर चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
किसी समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 3:4 के अनुपात में है यदि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 84 सेमी हो तो उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
घूर्णन सममिति,घूर्णन केन्द्र
पहले 180° के कोण पर एवं पुनः 360° के कोण पर ऊपर वाले समान्तर चतुर्भुज को घूमाने पर ऊपर वाला समान्तर चतुर्भुज नीचे वाले समान्तर चतुर्भुज पूरी तरह ढँक लेता है। इस प्रकार की सममिति को घूर्णन सममिति कहते हैं तथा जिस बिन्दु के सापेक्ष घुमाते
हैं उसे घूर्णन केन्द्र कहते हैं। घूर्णन केन्द्र के सापेक्ष एक पूरा चक्कर लगाने पर एक आकृति अपने आप को जितनी बार ढँक लेती है उसे घूर्णन का क्रम कहते हैं।
- एक समान्तर चतुर्भुज का एक कोण 120° हो तो अन्य कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं और आसन्न कोण संपूरक होते हैं।
इसलिए, यदि एक कोण 120° है, तो इसका सम्मुख कोण भी 120° होगा।
अब, मान लीजिए कि आसन्न कोण x है। चूँकि आसन्न कोण संपूरक होते हैं, इसलिए:
x + 120° = 180°
x = 60°
इसलिए, अन्य कोणों की माप 60° और 60° है।
2. एक समान्तर चतुर्भुज के दो कोणों का अनुपात 4:5 है समान्तर चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के दो कोण 4x और 5x हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं। इसलिए:
4x + 5x = 180°
9x = 180°
x = 20°
इसलिए, कोणों के मान हैं:
4x = 4 * 20° = 80°
5x = 5 * 20° = 100°
चूँकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए अन्य दो कोण भी 80° और 100° होंगे।
3. किसी समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 3:4 के अनुपात में है यदि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 84 सेमी हो तो उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 3x और 4x हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है। इसलिए:
2(3x + 4x) = 84 सेमी
14x = 84 सेमी
x = 6 सेमी
इसलिए, भुजाओं की लंबाई हैं:
3x = 3 * 6 सेमी = 18 सेमी
4x = 4 * 6 सेमी = 24 सेमी
इसलिए, समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ 18 सेमी और 24 सेमी हैं।
4. समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का अनुपात 2:3 है तो कोणों के मान क्या होंगे?
उत्तर: मान लीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण 2x और 3x हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं, इसलिए:
2x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 36°
इसलिए, कोणों के मान हैं:
2x = 2 * 36° = 72°
3x = 3 * 36° = 108°
5. किसी चतुर्भुज का एक कोण समकोण है और अन्य कोणों का अनुपात 2:3:4 है तो उन कोणों के मान क्या होंगे?
उत्तर: मान लीजिए कि चतुर्भुज के अन्य कोण 2x, 3x और 4x हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। इसलिए:
90° + 2x + 3x + 4x = 360°
9x = 270°
x = 30°
इसलिए, कोणों के मान हैं:
2x = 2 * 30° = 60°
3x = 3 * 30° = 90°
4x = 4 * 30° = 120°
6 . एक चतुर्भुज के चार कोणों का अनुपात 1:2:3:4 है तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि चतुर्भुज के कोण x, 2x, 3x और 4x हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। इसलिए:
x + 2x + 3x + 4x = 360°
10x = 360°
x = 36°
इसलिए, कोणों के मान हैं:
x = 36°
2x = 2 * 36° = 72°
3x = 3 * 36° = 108°
4x = 4 * 36° = 144°
7. एक समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण क्रमशः x और x + 20 हैं तो प्रत्येक कोण का मान बताइए।
उत्तर: हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं। इसलिए:
x + (x + 20°) = 180°
2x + 20° = 180°
2x = 160°
x = 80°
इसलिए, कोणों के मान हैं:
x = 80°
x + 20° = 80° + 20° = 100°
इसलिए, समान्तर चतुर्भुज के कोण 80° और 100° हैं।