भिन्नों पर संक्रियाएँ
भिन्नों का जोड़ / Addition of fraction
अगर भिन्नों का हर समान हो
किसी भी भिन्न का जोड़ करने से पहले हमें यह देखना होगा कि उनका हर समान है या नहीं। यदि दोनों भिन्नों का हर समान है तो हम हर को वैसा ही रखकर अंशों को जोड़ देंगे। जैसे –
3/5 + 3/5 ( इन दोनों भिन्नों का हर समान है तब )
= 3 + 3/5 = 6/5 उत्तर
अगर हर समान ना हो तो
भिन्नों का जोड़ करते समय यदि भिन्नों का हर समान नहीं है तब हम उन भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्त्य LCM लेते हैं फिर LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग करके जो उत्तर आएगा उसको पहली भिन्न के अंश से गुणा करके लिख देंगे तथा पहली भिन्न के हर से LCM को भाग करके जो उत्तर आएगा उसे दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करके लिख देंगे और प्राप्त दोनों अंशो को जोड़ देंगे तथा हर की जगह Lcm लिख देंगे।
भिन्नों का घटाना / Subtraction of fraction
अगर भिन्नों का हर समान हो
किसी भी भिन्न की घटा करने से पहले हमें यह देखना होगा कि उनका हर समान है या नहीं। यदि दोनों भिन्नों का हर समान है तो हम हर को वैसा ही रखकर अंशों को घटा देंगे। जैसे –
3/5 – 2/5 ( इन दोनों भिन्नों का हर समान है तब )
= 3 – 2/5 = 1/5 उत्तर
अगर हर समान ना हो तो
भिन्नों की घटा करते समय यदि भिन्नों का हर समान नहीं है तब हम उन भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्त्य LCM लेते हैं फिर LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग करके जो उत्तर आएगा उसको पहली भिन्न के अंश से गुणा करके लिख देंगे तथा पहली भिन्न के हर से LCM को भाग करके जो उत्तर आएगा उसे दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करके लिख देंगे और प्राप्त दोनों अंशो को घटा देंगे तथा हर की जगह Lcm लिख देंगे। जैसे-
भिन्नों को गुणा / Multiplication of fraction
दो भिन्नों की गुणा करने के लिए हमें किसी विशेष नियम का पालन नहीं करना होता। दो भिन्नों की गुणा करने के लिए दोनों भिन्नों के अंश को आपस मे गुणा करके लिख देंगे तथा दोनों भिन्नों के हर को आपस मे गुणा करके लिख देंगे।
3/5 × 6/7
जैसा कि हम देख सकते हैं कि आने वाली भिन्न का हर 35 होगा। अब हम आने वाली भिओंन के अंश को ज्ञात करने के लिए दोनों भिन्नों के अंशों को गुना कर देंगे।
3 × 6 = 18
हम देख सकते हैं अब हमने अंश भी ज्ञात कर लिया है। अब हम अंश एवं हर को एक दुसरे के ऊपर लिख देंगे। अतः
इन भिन्नों के गुना का हल होगा : 18/35
भिन्नों का भाग / Division of fraction
दो भिन्नों का भाग करने के लिए सबसे पहले दूसरी भिन्न को उल्टा करके लिख देते हैं जैसे दूसरी भिन्न के अंश को उसके हर की जगह लिख देंगे तथा हर को अंश की जगह लिख देंगे। ऐसा करने से भाग का निशान बदलकर गुणा का निशान हो जाएगा। उसके बाद भिन्नों की गुणा कर देंगे। जैसा अभी हमने किया था।
इन्हें याद रखें
- प्रत्येक भिन्न में अंश ऊपर और हर नीचे होता है।
- ऐसी सभी भिन्नें जो किसी इकाई के एक ही हिस्से को प्रदर्शित करती हैं, उन्हें तुल्य भिन्नें कहते हैं।
- समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए भिन्नों के अंशों को जोड़कर अंश में लिखते हैं और हर को एक ही बार हर में लिखते हैं।
- समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए भिन्नों के अंशों को घटाकर अंश में लिखते हैं और हर को एक ही बार हर में लिखते हैं।
- दो भिन्नों का गुणा करने के लिए अंशों का गुणा कर अंश में लिखते हैं तथा हरों का गुणा कर हर में लिखते हैं इस तरह मिलने वाली भिन्न ही दोनों भिन्नों का गुणनफल है।
- भिन्नों का भाग करने के लिए भाजक के अंश को हर के स्थान पर तथा हर को अंश के स्थान पर रखकर भाज्य से गुणा करना चाहिए।
परिमेय संख्या का निर्माण सम्बन्धी गणित प्रश्न
प्रश्न: एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 2 अधिक है। यदि अंश 4 गुना कर दिया जाये और हर में 8 जोड़ दिया जाये तो नवीन संख्या 4/3 हो जाती है। मूल संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
1. मूल संख्या को मानना:
माना मूल संख्या का अंश ‘x’ है। तो, हर ‘x + 2’ होगा। इसलिए, मूल संख्या x/(x + 2) होगी।
2. नई संख्या बनाना:
अंश को 4 गुना करने पर नया अंश 4x होगा। हर में 8 जोड़ने पर नया हर (x + 2 + 8) = (x + 10) होगा। इसलिए, नई संख्या 4x/(x + 10) होगी।
3. समीकरण बनाना:
प्रश्न के अनुसार, नई संख्या 4/3 है। इसलिए, 4x/(x + 10) = 4/3
4. समीकरण को हल करना:
क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन करने पर: 3 * 4x = 4 * (x + 10) 12x = 4x + 40 12x – 4x = 40 8x = 40 x = 40/8 x = 5
5. मूल संख्या ज्ञात करना:
अंश (x) = 5 हर (x + 2) = 5 + 2 = 7
मूल संख्या = अंश / हर = 5/7
उत्तर: मूल संख्या 5/7 है।
भिन्नों पर आधारित प्रश्न उत्तर
प्रश्न1. 1/5, 2/3, 3/4, 5/6 भिन्नों में सबसे बड़ा भिन्न क्या हैं?
उत्तर:-
उत्तर:- 5/6
प्रश्न2. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों में सबसे बड़ा भिन्न क्या है?
उत्तर:-
उत्तर:- 9/2
प्रश्न3. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों में सबसे छोटा भिन्न क्या हैं?
उत्तर:-
उत्तर:- 1/4
प्रश्न4. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों में सबसे छोटा भिन्न कौन सा हैं?
उत्तर:-
उत्तर:- 22/15
प्रश्न5. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों को बढ़ते क्रम (आरोही क्रम) में लिखिए?
उत्तर:-
उत्तर:- 1/4 < 2/5 < 2/3 < 5/6
प्रश्न6. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों को घटते क्रम (अवरोही क्रम) में लिखिए?
उत्तर:-
उत्तर:- 5/6 > 2/3 > 2/5 > 1/4
प्रश्न7. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों को आरोही क्रम में लिखिए?
उत्तर:-
उत्तर:- 22/15, 19/12, 14/7, 9/2
प्रश्न8. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखिए?
उत्तर:-
उत्तर:- 9/2, 14/7, 19/12, 22/15
प्रश्न9. 7/10, 5/7, 10/11, 2/5, 4/9 निम्न भिन्नों में से सबसे बड़ा भिन्न कौन सा हैं?
उत्तर:-
उत्तर:- 10/11
प्रश्न10. 7/4, 11/14, 8/12, 5/9, 1/4 निम्न भिन्नों में से सबसे बड़ा भिन्न कौन सा हैं?
उत्तर:-
उत्तर:- 11/14
प्रश्न11. निम्लिखित में से कौन-सी संख्या 4/5 तथा 7/13 के मध्य स्थित हैं?
1/2, 2/3, 3/4, 5/7
A. 1/2
B. 2/3
C. 3/4
D. 5/7
हल:
हल:- प्रश्ननानुसार,
4/5 = 0.80 तथा 7/13 = 0.54
1/2 = 0.5
2/3 = 0.66
3/4 = 0.75
5/7 = 0.71
अतः 1/2, 4/5 तथा 7/13 के बीच स्थित नहीं हैं।
प्रश्न12. वह भिन्न जिसका हर 30 हैं और जो 5/8 तथा 7/11 के बीच स्थित हैं होगीं?
A. 15/30
B. 12/30
C. 19/30
D. 17/30
हल:
हल:- प्रश्नानुसार
30, 8, 11 का ल. स. = 1320
5/8 = (5 × 165)/1320
= 825/1320
7/11 = (7 × 120)/1320
= 840/1320
विकल्प से,
19/30 = 19/1320 × 44
= 836/1320
836, 825 और 840 के बीच स्थित हैं।
अभीष्ट भिन्न = 19/30
उत्तर:- 19/30
प्रश्न13. उस भिन्न का मान ज्ञात कीजिए जिसका 27 के साथ वही अनुपात हैं जो 3/11 का 5/9 के साथ हैं?
A. 1/55
B. 55/99
C. 33
D. 55
हल:
हल:- प्रश्नानुसार
माना कि अभीष्ट भिन्न = x हैं।
प्रश्ननानुसार,
27 : x = 3/11 : 5/9
x = 27 × 5/9 × 11/3
x = 55
उत्तर:- 55
प्रश्न14. 3/5 और 7/3 के व्युत्क्रमों के योग का व्युत्क्रम क्या होगा?
A. 44/15
B. 15/44
C. 21/44
D. 44/21
हल:
हल:- प्रश्नानुसार
3/5 का व्युत्क्रम = 5/3
7/3 का व्युत्क्रम = 3/7
व्युत्क्रमों के योग = 5/3 + 3/7
= (35 + 9)/21
= 44/21
उत्तर:- 44/21
प्रश्न15. 1/4 एवं 1/7 के योग में से कौन सी भिन्न घटायी जाए कि तीन भिन्नों का औसत 1/21 हो जाए?
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/7
हल:
हल:- प्रश्नानुसार
माना कि x घटाया जाए।
(1/4 + 1/7) – x = 3 × 1/21
x = 1/4
उत्तर:- 1/4
प्रश्न16. किसी संख्या का 5/12 यदि 100 हैं तो उस संख्या का 15/4 भाग क्या होगा?
A. 900
B. 1100
C. 1300
D. 1700
हल:
हल:- प्रश्नानुसार,
माना संख्या x हैं।
x × 5/12 = 100
5/12 = 100
x = 100 × 12/5
x = 20 × 12
x = 240
इसी संख्या का 15/4 = 240 × 15/4
संख्या = 60 × 15
संख्या = 900
उत्तर:- 900
प्रश्न17.एक खम्बे का 1/2 भाग सफेद और 1/3 भाग नीला हैं, यदि शेष भाग पीला हो और वह दो मीटर लम्बा हैं तो खम्बे की कुल लम्बाई बताइए?
A. 8 मीटर
B. 12 मीटर
C. 16 मीटर
D. 24 मीटर
हल:
हल:- प्रश्नानुसार,
सफेद = 1/2 भाग
नीला = 1/3 भाग
पीला = 2 मीटर लम्बा
1 – ( 1/2 + 1/3 )
1 – 5 / 6
(6 – 5)/6
1/6
1/6 = 2
2 × 6 = 12 मीटर
उत्तर:- 12 मीटर
प्रश्न18. ?/36 = 576/? में ? का मान हैं?
A. 144
B. 200
C. 99
D. 126
हल:
हल:- प्रश्नानुसार,
?/36 = 576/?
?² = 576 × 36
? = √(576 × 36)
? = 24 × 6
? = 144
उत्तर:- 144
प्रश्न19. एक व्यक्ति अपनी आय का 1/3 भोजन पर, अपनी आय का 2/5 मकान किराये पर तथा अपनी आय का 1/5 भाग कपड़ों पर व्यय करता है यदि उसके पास अभी भी 400 रूपये शेष रहते हैं, तो उसकी आय है?
A. 4000
B. 5000
C. 6000
D. 7000
हल :
हल:- प्रश्नानुसार,
आय का 1/3 भोजन पर
आय का 2/5 मकान किराये पर
आय का 1/5 भाग कपड़ों पर
1/3 + 2/5 + 1/5
LCM = 15
(5 + 6 + 3)/15
14/15
1 – 14/15
(15 – 14)/15
1/15
1/15 = 400 × 15
1 = 6000
उत्तर:- 6000
प्रश्न20. राजेन्द्र अपनी आय का 1/4 भाग शिक्षा में तथा 1/2 भाग खाने में तथा शेष का 1/8 भाग कपड़े में खर्च करता है यदि वह 2100रू बचत करता तो राजेंद्र की आय ज्ञात करें?
A. 15,300
B. 16,800
C. 17,400
D. 20,800
हल
हल:- प्रश्नानुसार,
आय का 1/4 शिक्षा पर,
आय का 1/2 खाने पर,
आय का 1/8 भाग कपड़ों पर,
1/4 + 1/2 + 1/8
LCM = 8
(2 +4 + 1)/8
7/8
1 – 7/8
(8 – 7)/8
1/8
1/8 = 2100 × 8
1 = 16,800
उत्तर:- 16,800
प्रश्न21. दो परिमेय संख्याओं का योग 1/2 हैं यदि इनमें से एक संख्या -8/19 हो,तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 38/39
B. 35/38
C. 38/35
D. 39/32
हल
हल:- प्रश्नानुसार,
माना संख्या x हैं।
x + (-8/19) = 1/2
x = 1/2 + 8/19
2, 19 का LCM 38
x = (19 + 16)/38
x = 35/38
उत्तर:- 35/38
प्रश्न22. किसी कक्षा में कुछ छात्रों की संख्या का 3/5 भाग लड़कियाँ व शेष लड़के हैं। अगर लड़कियों की संख्या 2/9 व लड़कों की संख्या का 1/4 भाग अनुपस्थित हो, तो कक्षा की उपस्थिति क्या हैं?
A. 6/45
B. 16/49
C. 23/27
D. 23/30
हल
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना छात्रों की कुल संख्या = 3/5
एवं लड़कों की संख्या = 2/5
अनुपस्थित छात्रों की संख्या = 3/5 × 2/9 + 2/5 × 1/4
= 2/15 + 1/10
= (4 + 3)/30
= 7/30
कक्षा की उपस्थिति = (1 – 7/30)
= (30 – 7)/30
= 23/30
उत्तर:- 23/30
