पूर्ण संख्या , प्राकृत संख्याएँ पूर्णांक संख्या और संख्या रेखा

गणना करते समय 10 संकेतों 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 का उपयोग किया जाता है तथा गणना का कार्य 1 से प्रारंभ होता है। इन्हीं अंकों को मिलाकर प्राकृत संख्याएँ लिखी जाती हैं। गणना के लिए जिन संख्याओं का उपयोग किया जाता है उन्हें प्राकृत संख्या(Natural Number) कहते हैं।
प्राकृत संख्याओं के समूह को N से दर्शाते हैं।
अर्थात् प्राकृत संख्या (N) = 1,2,3, …. आदि।

सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 है।

प्राकृतिक संख्याओं का फार्मूला

• प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n+1) /2
• लगातार n तक विषम प्राकृतिक संख्या का योग = (n/2+1)
• प्रथम n प्राकृतिक सम संख्याओं का औसत = n+1
• प्रथम n प्राकृतिक विषम संख्याओं का औसत = n
• लगातार n तक विषम प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n+1) /2

प्राकृत संख्याओं के गुण (Properties of Natural numbers)

• दो प्राकृत संख्याओं का आपस में योग करने से या गुणा करने पर प्राकृत संख्या ही प्राप्त होती है।
• दो प्राकृत संख्याओं का आपस में व्यवकलन (घटाना) या भाग करने से सदैव प्राकृत संख्या प्राप्त नही होती है।
• दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ सकते हैं। दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा कर सकते हैं। अर्थात प्राकृत संख्याओं के लिए क्रमविनिमय का नियम योग व गुणन संक्रिया में लागू होता है जबकि घटाने एवं भाग संक्रिया पर लागू नही होता।
• प्राकृत संख्याओं के लिए साहचार्य नियम योग एवं गुणा संक्रिया में लागू होता है जबकि घटाने एवं भाग संक्रिया में लागू नहीं होता।
• प्राकृत संख्याओं के लिए गुणा का योग व अन्तर पर बंटन (वितरण) होता है।
• किसी प्राकृत संख्या मे एक से गुणा या भाग करने पर संख्या का मान नही बदलता।
• इस प्रकार a,b,c तीन प्राकृत संख्याओं के लिए
  • (a+b) एक प्राकृत संख्या है।
  • (axb) एक प्राकृत संख्या है।
  • a-b सदैव एक प्राकृत संख्या हो आवश्यक नही है।
  • a+b सदैव एक प्राकृत संख्या हो, जरूरी नही है।

प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3, 4, ……) में शून्य (0) को सम्मिलित करने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं, पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। पूर्ण संख्याओं को W से प्रदर्शित करते हैं। या फिर इसे इस तरह से भी परिभाषित किया जा सकता हैं “शून्य ‘0’ से लेकर अनंत तक की संख्याओं को पूर्ण संख्याएँ कहते हैं।” उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, ……। ∞ आदि

स्मरणीय बिंदु:

• शून्य (0) सबसे छोटी एवं पहली पूर्ण संख्या है।
• सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण-संख्याएँ हैं।
• चूंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या से बड़ी पूर्ण संख्याएँ होती हैं अतः कोई भी पूर्ण संख्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं होती है।

पूर्ण संख्याओं के गुण

• प्राकृत संख्या के सभी गुण पूर्ण संख्याओं के लिए भी सही हैं।
• सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।
• संख्या रेखा पर 0 से दाहिने ओर क्रमशः पूर्ण संख्या बढ़ते क्रम में दिखायी गयी है। अर्थात् 0+1 = 1,1+1 =2, … , 101 + 1 = 102, 102 + 1 = 103, 103 + 1 = 104, … , इत्यादि।
• संख्या रेखा पर दाहिने ओर से बाँए ओर का क्रम घटते क्रम में है, जैसे ….. 4,3,2,1,0
• सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं दिखाई जा सकती। क्योंकि यदि आप कोई बड़ी से बड़ी संख्या सोचते हैं तो उसमें एक जोड़ कर उसकी अगली बड़ी संख्या प्राप्त की जा सकती है। जो उस संख्या की परवर्ती संख्या होगी।

योग का संवरक गुण: 

जब किसी दो पूर्ण संख्याओं का आपस में जोड़ा जाता हैं तो प्राप्त योगफल सदैव पूर्ण संख्या होता है, यह पूर्ण संख्याओं के योग का संवरक प्रगुण है।

उदाहरणार्थ:-11 + 9 = 20 इन दोनों संख्याओं का योग 20 एक पूर्ण संख्या है।

योग का क्रम-विनिमेय गुण: 

जब किसी दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ा जाता हैं तो उनके योगफल पर संख्याओं के क्रम का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, इसे ही योग का क्रम-विनिमेय प्रगुण है।

उदाहरणार्थ: 14 + 33 = 47
33 + 14 = 4

योग का तत्समक अवयव: 

किसी पूर्ण संख्या में यदि शून्य को जोड़ा जाता है तो योगफल वही संख्या प्राप्त होती है। इसी कारण शून्य को पूर्ण संख्याओं में योग का तत्समक अवयव कहते हैं।

शून्य को पूर्ण संख्याओं के लिए योज्य तत्समक भी कहते हैं।
उदाहरणार्थ: 3 + 0 = 0 + 3 = 3

योग का साहचर्य गुण: 

तीन पूर्ण संख्याओं को क्रम में जोड़ते समय किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं का समूह पहले बना लेने से योगफल में अंतर नहीं पड़ता है, यह योग संक्रिया का साहचर्य प्रगुण है।

उदाहरणार्थ: (11+33) +102 = 11+ (33+102) = 11+33+102

1 से 100 तक की संख्याएँ लिखने के लिए अंक 9 का कितनी बार प्रयोग किया जाता है?

A) 10 बार
B) 19 बार
C) 20 बार
D) 21 बार

उत्तर: ✅ C) 20 बार
व्याख्या:

• इकाई के स्थान पर 9 → 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 → 10 बार
• दहाई के स्थान पर 9 → 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 → 10 बार
  कुल = 10 + 10 = 20 बार

चार अंकों की सबसे बड़ी प्राकृत संख्या और तीन अंकों की सबसे छोटी प्राकृत संख्या के बीच का अंतर कितना है?

A) 8999
B) 9000
C) 9090
D) 9999

उत्तर: ✅ A) 8999
व्याख्या:
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1000
अंतर = 9999 − 1000 = 8999

निम्नलिखित में से कौन-सी प्राकृत संख्याओं का सेट है?

• a) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• b) {1, 2, 3, 4, 5}
• c) {−1, 0, 1, 2, 3}
• d) {0, −1, −2, −3, −4}

उत्तर: b) {1, 2, 3, 4, 5}

निम्नलिखित में से पूर्ण संख्याओं का समूह कौन-सा है?

• a) {0, 1, 2, 3, 4}
• b) {1, 2, 3, 4, 5}
• c) {−1, −2, 1, 2, 3}
• d) {−1, 0, 1, 2, 3}

उत्तर: a) {0, 1, 2, 3, 4}

प्राकृत संख्याओं का सबसे छोटा मान कौन-सा है?

• a) 0
• b) 1
• c) −1
• d) 2

उत्तर: b) 1

पूर्ण संख्याओं का सबसे छोटा मान कौन-सा है?

• a) 0
• b) 1
• c) −1
• d) 2

उत्तर: a) 0

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

• a) सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
• b) सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं।
• c) 0 एक प्राकृत संख्या है।
• d) −1 एक पूर्ण संख्या है।

उत्तर: a) सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।

कौन-सा विकल्प केवल पूर्ण संख्याएँ दर्शाता है?

• a) {1, 2, 3, 4, 5}
• b) {0, 1, 2, 3, 4}
• c) {−1, 0, 1, 2, 3}
• d) {1, −2, 3, −4, 5}

उत्तर: b) {0, 1, 2, 3, 4}

निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या समूह प्राकृत संख्याओं का नहीं है?

• a) {1, 2, 3, 4, 5}
• b) {0, 1, 2, 3, 4}
• c) {2, 3, 4, 5, 6}
• d) {1, 3, 5, 7}

उत्तर: b) {0, 1, 2, 3, 4}

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

• a) 0 प्राकृत संख्या है।
• b) 0 पूर्ण संख्या है।
• c) −1 पूर्ण संख्या है।
• d) 0 और −1 दोनों प्राकृत संख्याएँ हैं।

उत्तर: b) 0 पूर्ण संख्या है।

संख्या 1 किसके अंतर्गत आती है?

• a) केवल प्राकृत संख्याएँ
• b) केवल पूर्ण संख्याएँ
• c) प्राकृत और पूर्ण दोनों संख्याएँ
• d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: c) प्राकृत और पूर्ण दोनों संख्याएँ