क्षेत्रमिति के सूत्र
त्रिभुज ∆ (Triangle):
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × (भुजा)²
समबाहु त्रिभुज को परिमिति = 3 × भुजा
समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = √3/4 × भुजा
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/4a√4b² – a²
समद्विबाहु त्रिभुज की परिमिति = a + 2b या a + 2c
समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लंबाई = √(4b² – a²)
विषमबाहु त्रिभुज की परिमिति = तीनों भुजाओं का योग = a + b + c
त्रिभुज का अर्ध परिमाप S = ½ × (a + b + c)
विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × लम्ब
समकोण त्रिभुज की परिमिति = लंब + आधार + कर्ण = a + b + c
समकोण त्रिभुज का कर्ण = √(लम्ब)² + (आधार)² = √(c² + a²)
समकोण त्रिभुज का लम्ब = √(कर्ण)² – (आधार)² = √(b² – a²)
समकोण त्रिभुज का आधार = √(कर्ण)² – (लम्ब)² = √b² – c²
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ¼ (कर्ण)²
किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को x गुणित करने पर परिमिति x गुणित तथा क्षेत्रफल x^2 गुणित हो जाती हैं।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता हैं।
समकोण त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° अर्थात दो समकोण होता हैं।
आयत (Rectangle):
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)
आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
किसी आयताकार मैदान के अंदर से चारों ओर रास्ता बना हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 2 × रास्ते की चौड़ाई × [(मैदान की लंबाई + मैदान की चौड़ाई) – (2 × रास्ते की चौड़ाई)]
यदि आयताकार मैदान के बाहर चारों ओर रास्ता बना हों, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 2 × रास्ते की चौड़ाई × [(मैदान की लम्बाई + मैदान की चौड़ाई) + (2 × रास्ते की चौड़ाई)
वर्ग (Square):
वर्ग का क्षेत्रफल = (एक भुजा)² = a²
वर्ग का क्षेत्रफल = (परिमिति)²/16
वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × AC × BD
वर्ग की परिमिति = 4 × a
वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल
वर्ग की परिमिति = विकर्ण × 2√2
वर्गाकार क्षेत्र के बाहर चारों ओर रास्ता बना हो तो रास्ते का क्षेत्रफल = 4 × रास्ते की चौड़ाई (वर्गाकार क्षेत्र की एक भुजा + रास्ते की चौड़ाई)
वर्गाकार क्षेत्र के अंदर चारों ओर रास्ता बना हो तो रास्ते का क्षेत्रफल = 4 × रास्ते की चौड़ाई (वर्गाकार क्षेत्र की एक भुजा – रास्ते की चौड़ाई)
घन (Cube):
घन का आयतन = a × a × a
घन का आयतन = (एक भुजा)³
घन की एक भुजा 3√आयतन
घन का विकर्ण = √3a सेंटीमीटर।
घन का विकर्ण = √3 × एक भुजा
घन की एक भुजा = विकर्ण/√3
घन का परिमाप = 4 × a × a
घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a² वर्ग सेंटीमीटर।
बेलन (Cylinder):
बेलन का आयतन = πr²h
बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (2πrh + 2πr²h) वर्ग सेंटीमीटर।
दोनों सतहों का क्षेत्रफल = 2πr²
खोखले बेलन का आयतन = πh(r²1 – r²2)
खोखले बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πh(r1 + r2)
खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πh(r1 + r2) + 2π (r²1 – r²1)
शंकु (Cone):
शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrl
शंकु के पृष्ठों का क्षेत्रफल = πr(r + l)
शंकु का आयतन = (πr²h)/3 घन सेंटीमीटर।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
शंकु की ऊँचाई (h) = √(l² – r²)
शंकु की त्रिज्या (r) = √(l² – h²)
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (πrl + πr²) वर्ग सेंटीमीटर।
शंकु का छिन्नक (Frastrum):
शंकु के छिन्नक का आयतन = (πh)/3 (R² + r² + Rr)
तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π (R + r)³, l² = h² + (R – r)²
छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = π[R² + r² + l(R + r)]
तिर्यक ऊँचाई = √(R – r)² + h²
समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium Quadrilateral):
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × समान्तर भुजाओं का योग × समांतर भुजाओं के बीच की दूरी
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × ऊँचाई × समान्तर भुजाओं का योग
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × h × (AD + BC)
समान्तर चतुर्भुज की परिमिति = 2 × (आसन्न भुजाओं का योगफल)
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × विकर्णो का गुणनफल
समचतुर्भुज की परिमिति = 4 × एक भुजा
किसी चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × एक विकर्ण
समचतुर्भुज की एक भुजा = √(विकर्ण)² + (विकर्ण)²
समचतुर्भुज का एक विकर्ण = √भुजा² – (दूसरा विकर्ण/2)²
बहुभुज (Polygon):
n भुजा वाले चतुर्भुज का अन्तः कोणों का योग = 2(n -2) × 90°
n भुजा वाले बहुभुज के बहिष्कोणों का योग = 360°
n भुजा वाले समबहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = [2(n – 2) × 90°] / n
n भुजा वाले समबहुभुज का प्रत्येक भहिष्यकोण = 360°/n
बहुभुज की परिमिति = n × एक भुजा
नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 6 × ¼√3 (भुजा)²
नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 3√3×½ (भुजा)²
नियमित षट्भुज की परिमति = 6 × भुजा
समषट्भुज की भुजा = परिवृत की त्रिज्या
n भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्णो की संख्या = n(n – 3)/2
घनाभ (Cuboid):
घनाभ के फलक का आकार = आयताकार
घनाभ में 6 सतह या फलक होते हैं।
घनाभ में 12 किनारे होते हैं।
घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं।
घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
घनाभ की लंबाई = आयतन/(चौड़ाई × ऊँचाई)
घनाभ की चौड़ाई = आयतन/(लम्बाई × ऊँचाई)
घनाभ की ऊँचाई = आयतन/(लंबाई × चौड़ाई)
घनाभ का आयतन = l × b × h
घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h
घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2(लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई)
घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
घनाभ के विकर्ण = √(लम्बाई)² + (चौड़ाई)² + (ऊँचाई)²
घनाभ का विकर्ण = √l² + b² + h²
खुले बक्से के सम्पूर्ण पृष्ठों का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौडाई + 2(चौडाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई)
कमरे के चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × ऊँचाई × (लम्बाई + चौड़ाई)
किसी कमरे में लगने वाली अधिकतम लम्बाई वाली छड़ = √(लम्बाई)² + (चौड़ाई)² + (ऊँचाई)²
गोला (Sphere):
गोला का आयतन = (4πr³)/3 घन सेंटीमीटर
गोले का वक्र पृष्ठ = 4πr² वर्ग सेंटीमीटर
गोले की त्रिज्या = ∛3/4π × गोले का आयतन
गोले का व्यास = ∛ (6 × गोले का आयतन)/π
गोलाकार छिलके का आयतन = 4/3π(R³ – r³)
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 4πr
गोले की त्रिज्या = √सम्पूर्ण पृष्ठ/4π
गोले का व्यास = √सम्पूर्ण पृष्ठ/π
गोलाकार छिलके का आयतन = 4/3π(R³ – r³)
अर्द्धगोला (Semipsphere):
अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ = 2πr²
अर्द्धगोले का आयतन = 2/3πr³ घन सेंटीमीटर
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr² वर्ग सेंटीमीटर
अर्द्वगोले की त्रिज्या r हो, तो अर्द्वगोले का आयतन = 2/3 πr³
अर्द्वगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr²
वृत्त (CIRCLE):
वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या = 2r
वृत्त की परिधि = 2π त्रिज्या = 2πr
वृत्त की परिधि = π × व्यास = πd
वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² = πr²
वृत्त की त्रिज्या = √वृत्त का क्षेत्रफल/π
अर्द्ववृत्त की परिमिति = (n + 2)r = (π + 2)d/2
अर्द्ववृत्त का क्षेत्रफल = 1/2πr² = 1/8 πd²
त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल = θ/360° × वृत्त क्षेत्रफल = θ/360° × πr²
त्रिज्याखण्ड की परिमिति = (2 + πθ/180°)r
वृतखण्ड का क्षेत्रफल = (πθ/360° – 1/2 sinθ)r²
वृतखण्ड की परिमिति = (L + πrθ)/180° , जहाँ L = जीवा की लम्बाई
चाप की लम्बाई = θ/360° × वृत्त की परिधि
चाप की लम्बाई = θ/360° × 2πr
दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याए R1, R2, (R1 ≥ R2) हो तो इन वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल = π(r²1 – r²2)
आयतन के सूत्र:
घन का आयतन = भुजा³
घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई ×ऊंचाई
बेलन का आयतन = πr²h
खोखले बेलन का आयतन = π(r1² – r2²)h
शंकु का आयतन = ⅓ πr2h
शंकु के छिन्नक का आयतन = ⅓ πh[r1² + r2²+r1r2]
गोले का आयतन = 4/3 πr3
अर्द्धगोले का आयतन = ⅔ πr3
गोलीय कोश का आयतन = 4/3 π(r13 – r23)