क्षेत्रफल कक्षा 3 गणित
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क्षेत्रफल कक्षा 4 गणित
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क्षेत्रफल कक्षा 5 गणित
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क्षेत्रफल किसी वस्तु या आकृति के भीतर के स्थान को दर्शाता है। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। कक्षा 5 के गणित में क्षेत्रफल के सामान्य नियम और सूत्र पढ़ाए जाते हैं।
मुख्य बिंदु:
- आयत का क्षेत्रफल
- सूत्र: क्षेत्रफल=लंबाई×चौड़ाई
- उदाहरण:
यदि आयत की लंबाई 8 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है, तो
क्षेत्रफल=8×5=40 वर्ग मीटर
- वर्ग का क्षेत्रफल
- सूत्र: क्षेत्रफल=भुजा×भुजा
- उदाहरण:
यदि वर्ग की भुजा 6 सेमी है, तो
क्षेत्रफल=6×6=36 वर्ग सेमी
- त्रिभुज का क्षेत्रफल
- सूत्र: क्षेत्रफल=12×आधार×ऊँचाई
- उदाहरण:
यदि त्रिभुज का आधार 10 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, तो
क्षेत्रफल=12×10×8=40 वर्ग सेमी
- वृत्त का क्षेत्रफल
- सूत्र: क्षेत्रफल=π×त्रिज्या2
- उदाहरण:
यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो
क्षेत्रफल=3.14×7×7=153.86 वर्ग सेमी
- संयोजन आकृतियों का क्षेत्रफल
- यदि आकृति में कई भाग हों, तो उनके सभी भागों का क्षेत्रफल जोड़कर कुल क्षेत्रफल निकाला जाता है।
महत्वपूर्ण प्रश्न:
- 10 मीटर लंबाई और 6 मीटर चौड़ाई वाले आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- भुजा 15 सेमी वाले वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा?
- त्रिज्या 14 सेमी वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- आधार 12 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।
क्षेत्रफल कक्षा 6 गणित
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- किसी समतल पर कोई वस्तु जितना स्थान घेरती है वह उसका क्षेत्रफल होता है।
- आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
- वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = (भुजा)2
- क्षेत्रफल का मात्रक वर्ग इकाई होता है।
क्षेत्रफल कक्षा 7 गणित
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- किसी समतल पर कोई वस्तु जितना स्थान घेरती है वह उसका क्षेत्रफल होता है।
- आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
- वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = (भुजा)2
- वृत्त का व्यास = 2 x त्रिज्या
- वृत्त का क्षेत्रफल = TT12, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या हैं।
- क्षेत्रफल का मात्रक वर्ग इकाई होता है।
क्षेत्रमिति-1 कक्षा 8 गणित
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1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
- उदाहरण: एक समांतर चतुर्भुज का आधार 10 cm और ऊँचाई 5 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 10 cm × 5 cm = 50 वर्ग cm
2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो समान त्रिभुजों में बाँटते हैं।
- उदाहरण: एक समांतर चतुर्भुज ABCD है। विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज AOB और त्रिभुज COD का क्षेत्रफल बराबर है।
- हल: त्रिभुज AOB और त्रिभुज COD में,
- AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
- AO = OC (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
- BO = OD (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
- इसलिए, त्रिभुज AOB ≅ त्रिभुज COD (SSS सर्वांगसमता नियम)
- इसलिए, त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल = त्रिभुज COD का क्षेत्रफल
3. त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
- उदाहरण: एक त्रिभुज का आधार 8 cm और ऊँचाई 6 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × 8 cm × 6 cm = 24 वर्ग cm
4. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × (भुजा)^2
- उदाहरण: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 4 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × (भुजा)2 = √3/4 × (4 cm)2 = 4√3 वर्ग cm
5. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई या 1/2 × पहला विकर्ण × दूसरा विकर्ण
- उदाहरण: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 6 cm और 8 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × पहला विकर्ण × दूसरा विकर्ण = 1/2 × 6 cm × 8 cm = 24 वर्ग cm
6. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग)
- उदाहरण: एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 10 cm और 12 cm हैं और ऊँचाई 5 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग) = 1/2 × 5 cm × (10 cm + 12 cm) = 55 वर्ग cm
7. वृत्त का क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)^2
- उदाहरण: एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- हल: वृत्त का क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)2 = π × (7 cm)2 = 49π वर्ग cm
8. वृत्त की परिधि = 2 × π × त्रिज्या
- उदाहरण: एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
- हल: वृत्त की परिधि = 2 × π × त्रिज्या = 2 × π × 7 cm = 14π cm
क्षेत्रमिति के सवाल
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Q.1 एक त्रिभुज की भुजाएं क्रमशः 3 सेंटीमीटर, 4 सेंटीमीटर और 5 सेंटीमीटर हैं इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Ans.
हल:- प्रश्ननानुसार,
a = 3 सेंटीमीटर
b = 4 सेंटीमीटर
c = 5 सेंटीमीटर
त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
s = (3 + 4 + 5)/2
s = 12/2
s = 6
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ = √6(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5)
∆ = √6 × 3 × 2 × 1
∆ = √36
∆ = 6
Ans. 6 वर्ग सेंटीमीटर।
Q.2 एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार 6 सेमी. तथा कर्ण 10 सेमी. हैं, तो क्षेत्रफल हैं?
A. 24 सेमी.²
B. 30 सेमी.²
C. 40 सेमी.²
D. 48 सेमी.²
Ans.
हल:- समकोण ∆ की ऊँचाई = √(10² – 6²)
= √(100 – 36)
= √64
= 8 सेमी.
∆ का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
∆ का क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8
∆ का क्षेत्रफल = 24 सेमी.²
Ans. 24 सेमी.²
Q.3 एक त्रिभुज के आधार की लम्बाई 15 मीटर तथा ऊँचाई 12 मीटर हैं, एक दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना हैं तथा इस त्रिभुज के आधार की लंबाई 20 मीटर हैं, इस त्रिभुज की ऊँचाई क्या होंगी?
A. 18 मीटर
B. 8 मीटर
C. 28 मीटर
D. 38 मीटर
Ans.
हल:- पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ (15 × 12)
= 90 वर्ग मीटर
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 90
क्षेत्रफल = 180 वर्ग मीटर
आधार = 20 मीटर
दूसरे त्रिभुज की ऊंचाई = (क्षेत्रफल × 2)/आधार
= (180 × 2)/20
Ans. 18 मीटर।
Q.4 किसी त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी. और उसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी. हैं यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई 13 सेमी. हैं, तो उसकी सबसे छोटी भुजा की लम्बाई क्या हैं?
A. 3 सेमी.
B. 4 सेमी.
C. 5 सेमी.
D. 6 सेमी.
Ans.
हल:- माना,
कि त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी.
तब, मध्य की भुजा = 30 – (13 + x)
= 30 – 13 – x
= (17 – x) सेमी.
प्रश्ननानुसार,
a = 13, b = x, c = 17 – x
S = (a + b + c)/2
S = (13 + x + 17 – x)/2
S = 30/2
S = 15 सेंटीमीटर
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
30 = √15(15 – 13)(15 – x)(15 – 17 – x)
30 = √15 × 2 × (15 – x)(2 – x)
(30)² = 30 × (15 – x)(x – 2)
900 = 30 × (15x – 30 – x² + 2x)
900/30 = (17x² – x² – 30)
x² + 17x – 30 – 30 = 0
x² + 17x – 60 = 0
x² – 17x + 60 = 0
x² – 12x – 5x + 60 = 0
x(x – 12) – 5(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 5) = 0
x – 12 = 0, x – 5 = 0
x = 12, x = 5
सबसे छोटी भुजा = 5 सेमी.
Ans. 5 सेमी.
Q.5 एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 : 4 : 3 के अनुपात में हैं यदि त्रिभुज की परिमाप 24 सेमी. हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 12 वर्ग सेमी.
B. 24 वर्ग सेमी.
C. 6 वर्ग सेमी.
D. 48 वर्ग सेमी.
Ans.
हल:- माना त्रिभुज की भुजाएँ = 5x, 4x और 3x
प्रश्ननानुसार,
5x + 4x + 3x = 24
12x = 24
x = 2
अतः भुजाएँ 10, 8 और 6 सेमी.
a = 10, b = 8, c = 6
S = (a + b + c)/2
S = (10 + 8 + 6)/2
S = 24/2
S = 12 सेमी.
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ का क्षेत्रफल = √12(12 – 10)(12 – 8)(12 – 6)
∆ का क्षेत्रफल = √12 × 2 × 4 × 6
∆ का क्षेत्रफल = √24 × 24
∆ का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी.
Ans. 24 वर्ग सेमी.
Q.6 किसी त्रिभुज PQR की भुजाएँ 5 सेमी. 12 सेमी. तथा 13 सेमी. हैं त्रिभुज में एक अन्तः वृत्त बनाया गया हैं उस वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) में हैं?
A. 4π
B. 3π/4
C. π
D. 4
Ans.
हल:- माना,
वृत्त की त्रिज्या r सेमी. हैं
r = √1/15(15 – 5)(15 – 12)(15 – 13)
r = √1/15 × 10 × 3 × 2
r = √4
r = 2 सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= π2²
= 4π
Ans. 4π
Q.7 यदि समबाहु ∆ की एक भुजा 4√3 सेमी. हैं तो उसका क्षेत्रफल होगा?
A. 12/√3 वर्ग सेमी.
B. 24/√3 सेमी.
C. 12/√3 सेमी.
D. 21/√3 सेमी.
Ans.
हल:- समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = √3/4 + (भुजा)²
= √3/4 × (4√3)²
= √3/4 × 16 × 3
= √3 × 4 × 3
= 12√3
Ans. 12√3
Q.8 यदि किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल √3 सेमी.^2 हो, तो उसकी भुजा (सेमी. में) होगी?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ans.
हल:- √3/4 × भुजा² = √3 सेंटीमीटर²
भुजा = √4
भुजा = 2 सेंटीमीटर
Ans. 2
Q.9 किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 400√3 वर्ग मीटर हैं इसका परिमाप हैं?
A. 120 मीटर
B. 150 मीटर
C. 90 मीटर
D. 135 मीटर
Ans.
हल:- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × (भुजा)²
400√3 = √3/4 × (भुजा)²
भुजा = 40
त्रिभुज का परिमाप = 40 × 3
= 120 मीटर
Ans. 120 मीटर
Q.10 एक समबाहु त्रिभुज जिसका क्षेत्रफल 4√3 वर्ग सेमी. हैं, कि भुजा हैं?
A. 1 सेमी.
B. 2 सेमी.
C. 3 सेमी.
D. 4 सेमी.
Ans.
हल:- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 (भुजा)²
प्रश्ननानुसार,
√3/4 (भुजा)² = 4√3
भुजा² = 4²
भुजा = 4 सेंटीमीटर.
Ans. 4 सेंटीमीटर
Q.11 यदि एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा उस वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं, जिसका क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. हैं तो समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 7√3 वर्ग सेमी.
B. 49√3/4 वर्ग सेमी.
C. 35/√4 सेमी.
D. 49 वर्ग सेमी.
Ans.
हल:- वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
154 = 22/7 × r²
r² = (154 × 7) × 22
r² = 7 × 7
r² = 7²
r = 7
त्रिभुज की भुजा = 7 सेंटीमीटर
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × 49
= 49√3/4 वर्ग सेमी.
Ans. 49√3 / 4 वर्ग सेमी.
Q.12 एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7 : 3 हैं यदि मैदान का क्षेत्रफल 189 मीटर^2 हो तो मैदान के चारों और तीन बार लपेटने में कुल कितना तार लपेटना पड़ेगा?
A. 50 मीटर
B. 150 मीटर
C. 180 मीटर
D. 250 मीटर
Ans.
हल:- आयताकार मैदान की लंबाई = 7x मीटर
तथा आयताकार मैदान की चौड़ाई = 3x मीटर
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
189 = (7x) × (3x)
189 = 21 x²
x² = 189/21
x² = 9
x = 3 मीटर
अतः लम्बाई = 7x
7 × 3 = 21 मीटर
तथा चौड़ाई = 3x
3 × 3 = 9 मीटर
आयताकार मैदान का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2(21 + 9)
= 60 मीटर
अतः तीन चक्कर में लपेटा गया कुल तार = 3 × परिमाप
= 3 × 60
Ans. 180 मीटर
Q.13 एक आयताकार क्षेत्रफल की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 40 मीटर और 30 मीटर हैं उस आयताकार क्षेत्रफल का परिमाप क्या होगा?
A. 140
B. 170
C. 200
D. 280
Ans.
हल:- आयताकार क्षेत्रफल का परिमाप
लम्बाई = 40 मीटर
चौड़ाई = 30 मीटर
आयत का परिमाप = 2(l + b)
= 2(40 + 30)
= 2 × 70
Ans. 140 मीटर
Q.14 एक आयत की लम्बाई 15 सेंटीमीटर और इसके विकर्ण की लम्बाई 17 सेंटीमीटर हो तो आयत का क्षेत्रफल कितना होगा?
A. 120 वर्ग सेंटीमीटर
B. 220 वर्ग सेंटीमीटर
C. 60 वर्ग सेंटीमीटर
D. 180 वर्ग सेंटीमीटर
Ans.
हल:- विकर्ण = 17 सेंटीमीटर
लम्बाई = 15 सेंटीमीटर
आयत का विकर्ण =√(l² + b²)
17 = √l² + (15)²
(17)² = l² + (15)²
(17)² – (15)² = l²
289 – 225 = l²
L² = 64
L = 8
आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 8 × 15
Ans. 120 वर्ग सेंटीमीटर।
Q.15 एक कमरा 20 मीटर लम्बा हैं और 15 मीटर चौड़ा हैं इसके फर्श पर 60 सेंटीमीटर चौड़ी दरी बिछाने का खर्च 20 रूपए/मीटर की दर से कितना होगा।
A. 10,000
B. 20,000
C. 5,000
D. 15,000
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20 × 15
= 300 मीटर।
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
300 = l × 60/100
5 = l/100
L = 500
= 500 × 20
= 10,000
Ans. 10,000
Q.16 एक आयताकार पार्क की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 60 मीटर हैं, इसके अंदर चारों और 5 मीटर चौड़ा रास्ता हैं, इस रास्ते पर 15 रूपए/वर्ग मीटर की दर से रुड़ी बिछाने का खर्च कितने रूपए होगा?
A. 8000 रूपए
B. 11000 रूपए
C. 31000 रूपए
D. 21000 रूपए
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 90 × 60
= 5400 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 80 × 50
= 40,000 वर्ग मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = 5400 – 4000
= 1400 वर्ग मीटर
= 1400 × 15
= 21000 रूपए
Ans. 21000 रूपए।
Q.17 एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई में अनुपात 5 : 3 हैं यदि लम्बाई चौड़ाई से 6 मीटर अधिक हो, तो भूखण्ड का क्षेत्रफल क्या हैं?
A. 135 वर्ग मीटर
B. 280 वर्ग मीटर
C. 300 वर्ग मीटर
D. 800 वर्ग मीटर
Ans.
हल:- माना,
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई 5x मीटर हैं।
तथा चौड़ाई = 3x मीटर
5x – 3x = 6
2x = 6
x = 3
लम्बाई = 5 × 3
लम्बाई = 15 मीटर
तथा चौड़ाई = 3 × 3
चौड़ाई = 9 मीटर
भूखण्ड का क्षेत्रफल = 15 × 9
= 135 वर्ग मीटर
Ans. 135 वर्ग मीटर
Q.18 परस्पर समकोण पर काटती हुई 2 मीटर चौड़ी दो सड़के एक आयताकार पार्क जिसका माप 72 मी. × 48 मी. हैं के बीच से गुजरती हैं और प्रत्येक सड़क आयत की एक भुजा के समांतर हैं पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल हैं?
A. 236 वर्ग मीटर
B. 240 वर्ग मीटर
C. 3216 वर्ग मीटर
D. 3220 वर्ग मीटर
Ans.
हल:- सड़कों का क्षेत्रफल = 27 × 2 + 48 × 2 – 2 × 2
= 144 + 96 – 4
= 144 + 92
= 236 वर्ग मी.
पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल = 72 × 48 – 236
= 3220 वर्ग मी.
Ans. 3220 वर्ग मी.
Q.19 एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल 396 वर्ग मीटर हैं उसकी लम्बाई 22 मीटर हैं, तो चौड़ाई और परिमिति क्या होगी?
A. 80 मीटर
B. 90 मीटर
C. 60 मीटर
D. 50 मीटर
Ans.
हल:- आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
चौड़ाई = 396/22
चौड़ाई = 18 मी.
परिमिति = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2(22 + 18)
= 2 × 40
= 80 मीटर
Q.20 एक आयताकार खेत के चारों और अंदर से सीमा से लगा हुआ 8 मीटर चौड़ा रास्ता बना हैं यदि खेत को लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 180 मीटर और 150 मीटर हो तो रास्ता का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 2,014 वर्ग मीटर
B. 3,024 वर्ग मीटर
C. 4,879 वर्ग मीटर
D. 5,024 वर्ग मीटर
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 180 × 150
= 27000 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 164 × 134
= 21,976 वर्ग मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = 27000 – 21,976
= 5024
Ans. 5,024 वर्ग मीटर।
Q.21 एक आयत का क्षेत्रफल 252 वर्ग सेंटीमीटर हैं, इसकी लम्बाई तथा चौड़ाई 9 : 7 हैं, इसका परिमाप क्या हैं?
A. 87 सेंटीमीटर
B. 56 सेंटीमीटर
C. 87 सेंटीमीटर
D. 64 सेंटीमीटर
Ans.
हल:- आयत का क्षेत्रफल = 252
लम्बाई = 9
चौड़ाई = 7
9x × 7x = 252
63x^2 = 252
x^2 = 4
x = 2
9 × 2 = 18
7 × 2 = 14
आयत का परिमाप = 2(l + b)
= 2(18 + 14)
= 2 × 32
= 64
Ans. 64 सेंटीमीटर।
Q.22 यदि किसी आयताकार भूखण्ड की लम्बाई में 5% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?
A. 2.4%
B. 6.9%
C. 4.9%
D. 5.5%
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 100% × 100%
= (105% × 90%)/100
= 189/2
= 94.5%
= 100% – 94.5%
= 5.5%
Ans. 5.5% की कमी होगी।
Q.23 एक आयत का विकर्ण 10 सेंटीमीटर हैं तथा यह आयत की लम्बाई का 2 गुना हैं, बताइए आयत का क्षेत्रफल कितना हैं?
A. 15√3
B. 25√3
C. 5√3
D. 35√3
Ans.
हल:- आयत का विकर्ण =√(l² + b²)
10 = √(5)² + b²
10^2 = 5² + b²
100 = 25 + b²
b² = 100 – 25
b² = 75
b = 5√3
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 5 × 5√3
= 25√3
Ans. 25√3 वर्ग सेंटीमीटर।
Q.24 किसी वर्ग की लम्बाई में बढ़ोतरी 40% तथा चौड़ाई में 40% कमी की जाती हैं परिणामी आयत तथा वर्ग के क्षेत्रफलों में अनुपात होगा?
A. 21 : 25
B. 31 : 35
C. 21 : 40
D. 15 : 16
Ans.
हल:- यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा 100 सेमी. हैं, तो आयत की लंबाई = 140 सेंटीमीटर
तथा आयत की चौड़ाई = 60 सेंटीमीटर
आयत का क्षेत्रफल : वर्ग का क्षेत्रफल
= 8400 : 10000
= 21 : 25
Ans. 21 : 25
Q.25 यदि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 15 वर्ग सेमी. तथा उसके एक विकर्ण की लम्बाई 5 सेमी. हो तो, दूसरे विकर्ण की लम्बाई होगी?
A. 3 सेमी.
B. 4 सेमी.
C. 5 सेमी.
D. 6 सेमी.
Ans.
हल:- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × एक विकर्ण × दूसरा विकर्ण
15 = ½ × 5 × दूसरा विकर्ण
दूसरा विकर्ण = (15 × 2)/5
= 6 सेमी.
Ans. 6 सेमी.
Q.26 किसी समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हैं और उसकी ऊँचाई 5 मीटर हैं इसका क्षेत्रफल हैं?
A. 20 वर्ग मीटर
B. 30 वर्ग मीटर
C. 40 वर्ग मीटर
D. 50 वर्ग मीटर
Ans.
हल:- समचतुर्भुज की एक भुजा = 40/4
= 10 मीटर
तथा ऊँचाई = 5 मीटर
अभीष्ट क्षेत्रफल = 10 × 5
= 50 वर्ग मीटर
Ans. 50 वर्ग मीटर
Q.27 किसी कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 128 वर्ग मीटर हैं यदि लम्बाई और चौड़ाई आपस मे बराबर हैं तथा ऊँचाई 4 मीटर हैं तो कमरे के फर्श का क्षेत्रफल हैं?
A. 40 वर्ग मीटर
B. 60 वर्ग मीटर
C. 64 वर्ग मीटर
D. 68 वर्ग मीटर
Ans.
हल:- कमरे के चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 (लम्बाई + चौड़ाई) × ऊँचाई
माना,
कि लम्बाई = x मीटर
तो चौड़ाई = x मीटर
2 ( x + x) × 4 = 128
16x = 128
x = 128/16
x = 8 मीटर
फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 8 × 8
= 64 वर्ग मीटर
Ans. 64 वर्ग मीटर
Q.28 उस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा जिसके विकर्ण की लंबाई 6 सेंटीमीटर हैं?
A. 28 सेंटीमीटर
B. 38 सेंटीमीटर
C. 8 सेंटीमीटर
D. 18 सेंटीमीटर
Ans.
उत्तर:- क्षेत्रफल = d²/2
= (6 × 6)/2
= 18
Ans. 18 सेंटीमीटर।
Q.29 एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 20% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
A. 44% की वृद्धि।
B. 84% की हानि।
C. 44% की वृद्धि।
D. 54% की हानि।
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= [(100% + 20%) × (100% + 20%)]/100
= (120 × 120)/100
= 144
= 144 – 100
= 44%
Ans. 44% की वृद्धि।
Q.30 किसी वर्गाकार खेत की भुजा 45 मीटर हैं उस खेत का क्षेत्रफल होगा?
A. 1560
B. 3053
C. 3590
D. 2025
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 45 × 45
Ans. 2025
Q.31 120 मीटर भुजा केवर्गाकार मैदान के बीचों बीच परस्पर समकोण पर काटती हुए 20 मीटर चौड़ी दो पट्टियां बनी हैं, बताइए पट्टियों को कर शेष मैदान का क्षेत्रफल कितना होगा?
A. 10,000
B. 20,000
C. 5,000
D. 15,000
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 120 × 120
= 14,400 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= (120 × 120) + (120 × 120)
= 2400 + 2400
= 4800
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 20 × 20
= 400
= 4800 – 400
= 4400
शेष मैदान का शेषफल = 14,400 – 4400
Ans. 10,000
Q.32 एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 25% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
A. 48.98%
B. 46.25% की वृद्धि।
C. 56.25% की वृद्धि।
D. 90.67%
Ans.
हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= [(100% + 25%) × (100% + 25%)]/100
= (125 × 125)/100
= 625/4
= 156.25
= 156.25 – 100
= 56.25%
Ans. 56.25% की वृद्धि।
Q.33 किसी आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 35 मीटर और 30 मीटर हैं, इसमें से 5 मीटर भुजा की कितनी वर्गाकार क्यारियां बनाई जा सकती हैं?
A. 42
B. 55
C. 68
D. 90
Ans.
हल:- (बड़ी वस्तु का क्षेत्रफल)/(छोटी वस्तु का क्षेत्रफल)
= (35 × 30)/(5 × 5)
= 7 × 6
Ans. 42
Q.34 एक आयत और एक वर्ग के क्षेत्रफल समान हैं यदि आयत की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 80 मीटर हैं तो वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए?
A. 50√2
B. 60√2
C. 40√2
D. 30√2
Ans.
हल:- आयत का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
लम्बाई × चौड़ाई = a²
90 × 80 = a²
7200 = a²
a² = 7200
a = √7200
a = 60√2
Ans. 60√2
Q.35 एक त्रिभुजाकर खेत की भुजाएं क्रमशः 20 मीटर, 21 मीटर तथा 29 मीटर लम्बी हैं इस खेत में 25 रूपए प्रति वर्ग मीटर की दर से फसल काटने का खर्च क्या होगा?
A. 4280 रूपए
B. 3950 रूपए
C. 5250 रूपए .
D. 5900 रूपए
Ans.
हल:- a = 20, b = 21, c = 29
s = (a + b + c)/2
s = (20 + 21 + 29)/2
s = 70/2
s = 35
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
= √35 (35 – 20) (35 – 21) (35 – 29)
= √35 × 15 × 14 × 6
= √210 × 210
= 210
= 210 × 25 रूपए
Ans. 5250 रूपए
Q.36 एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 सेंटीमीटर तथा कर्ण 13 सेंटीमीटर हैं इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
A. 60 वर्ग सेंटीमीटर
B. 90 वर्ग सेंटीमीटर
C. 30 वर्ग सेंटीमीटर
D. 50 वर्ग सेंटीमीटर
Ans.
हल:- AC² = AB² + BC²
(13)² = (AB)² + (12)²
169 = (AB)² + 144
169 – 144 = (AB)²
(AB)² = 25
AB = 5
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (आधार × ऊँचाई)
= ½ (12 × 5)
= 6 × 5
Ans. 30 वर्ग सेंटीमीटर।
Q.37 यदि दो वर्गों के क्षेत्रफलों में अनुपात 25 : 36 हैं, तो उनके परिमापों में अनुपात होगा?
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 4 : 3
D. 5 : 6
Ans.
हल:- वर्ग की भुजाओं का अनुपात = √25/√36
= 5/6
परिमापों का अनुपात = (5 × 4)/(6 × 4)
= 5 : 6
Ans. 5 : 6
Q.38 6.5 मी. × 4.0 मी. की माप वाले एक कमरे के फर्श का वर्गाकार संगमरमर के टुकड़ों से सुसज्जित करना हैं ऐसे बड़े से बड़े सम्भव टुकड़े की लम्बाई होगी?
A. 20 सेमीमीटर
B. 50 सेमीमीटर
C. 100 सेमीमीटर
D. 180 सेमीमीटर
Ans.
हल:- कमरे की लंबाई = 650 सेमी. तथा
चौड़ाई = 400 सेमी.
अब, 650 और 400 का महत्तम समापवर्तक = 50
अतः प्रत्येक संगमरमर के टुकड़े का साइज = 50 × 50 सेमीमीटर
अतः बड़े से बड़े सम्भव टुकड़े की लम्बाई = 50 सेमी.
Ans. 50 सेमी.
Q.39 एक अर्द्ध गोलाकार खिड़की जिसका व्यास 63 सेमीमीटर हैं कि परिधि क्या होगी?
A. 111 सेमीमीटर
B. 121 सेमीमीटर
C. 158 सेमीमीटर
D. 162 सेमीमीटर
Ans.
हल:- r = 63/2
गोलाकार खिड़की की परिधि = 2πr/2 + 2r
= 22/7 × 63/2 + 2 × 63/2
= 99 + 63
= 162 सेमीमीटर
Ans. 162 सेमीमीटर
Q.40 एक पहिए का व्यास 1.26 मी. हैं यह 500 चक्कर में कितनी दूरी तय करेगा?
A. 1679 मीटर
B. 1980 मीटर
C. 2487 मीटर
D. 3870 मीटर
Ans.
हल:- पहिए की परिधि = 22/7 × 1.26
= 3.96 मीटर
500 चक्करों को पूरा करने में चली गई दूरी = 3.96 × 500
= 1980 मीटर
Ans. 1980 मीटर
Q.41 एक वृताकार मैदान के चारों ओर एक वृताकार सड़क हैं जिसके अंदर के घेरे और बाहर के घेरे की लम्बाईयों का अंतर 88 मी. हैं सड़क की चौड़ाई हैं। (π = 22/7)
A. 68 मीटर
B. 45 मीटर
C. 8 मीटर
D. 14 मीटर
Ans.
हल:- प्रश्ननानुसार,
2πR – 2πr = 88
2π(R – r) = 88
R – r = 88/2π
R – r = 88 / 2 × 22/7
R – r = (88 × 7) / 2 × 22
R – r = 2 × 7
R – r = 14
सड़क की चौड़ाई = R – r = 14 मीटर
Ans. 14 मीटर
Q.42 वर्ग के रूप में मुड़ा हुआ एक तार का क्षेत्रफल 484 वर्ग सेमीमीटर हैं यदि वही तार एक वृत्त के रूप में तोड़ दिया जाए तो घिरने वाला क्षेत्रफल होगा?
A. 587 सेमीमीटर
B. 616 सेमीमीटर
C. 872 सेमीमीटर
D. 987 सेमीमीटर
Ans.
हल:- 2πr = 4 × √484
= 4 × 22
= 88 सेमीमीटर
अतः 2πr = 88 सेमीमीटर
r = 88/2 × 7/22
r = 14 सेमीमीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = 22/7 × 14 × 14
= 616 सेमीमीटर
Ans. 616 सेमीमीटर
Q.43 यदि किसी वृत्त की त्रिज्या दूनी कर दी जाए, तो नए वृत्त की परिधि तथा व्यास में क्या अनुपात होगा?
A. π/2
B. 2π
C. π
D. π + 2
Ans.
हल:- माना वृत्त की त्रिज्या = r
वृत्त की परिधि = 2πr
वृत्त की त्रिज्या = 2r
वृत्त की परिधि = 2.2πr
= 4πr
नए वृत्त का व्यास = 2.2r
= 4r
अनुपात = 4πr/4r
अनुपात = π
Ans. π
Q.44 किसी कमरे की चौड़ाई ऊँचाई की दूनी परन्तु लम्बाई की आधी हैं। कमरे का आयतन 512 घन मीटर हैं। कमरे की लम्बाई बताइए?
A. 12 मी.
B. 16 मी.
C. 32 मी.
D. 10 मी.
Ans.
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना ऊँचाई = h मीटर,
चौड़ाई = 2h मीटर
लम्बाई = 4h मीटर
आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
512 = 4h × 2h × h
512 = 8h³
h³ = 512/8
h³ = 64
(h³)³ = √64
h = 4
Ans. 4
Q.45 एक घन का प्रत्येक किनारा 5 मीटर हैं, तो उसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और आयत होगा?
A. 150 वर्ग मीटर, 125 घन मीटर
B. 25 वर्ग मीटर, 75 घन मीटर
C. 190 वर्ग मीटर, 175 घन मीटर
D. 40 वर्ग मीटर, 160 घन मीटर
Ans.
हल:- प्रश्ननानुसार,
घन का कुल प्रष्ठ क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
= 6 × 25
= 150 वर्ग मीटर
घन का आयतन = (भुजा)²
= (5)²
= 25
Ans. 25 घन मीटर
Q.46 एक घनाभ की लम्बाई 15 मीटर, चौड़ाई 10 मीटर तथा ऊँचाई 4 मीटर हैं। इसका सम्पूर्ण प्रष्ठ हैं?
A. 420 वर्ग मी.
B. 450 वर्ग मी.
C. 500 वर्ग मी.
D. 600 वर्ग मी.
Ans.
हल:- प्रश्ननानुसार,
घनाभ का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2(15 × 10 + 10 × 4 + 4 × 15)
= 500 वर्ग मीटर
उत्तर:- 500 वर्ग मीटर
Q.47 यदि गोले के प्रष्ठ क्षेत्रफल 4 : 25 के अनुपात में हो, तो उनके आयतनों का अनुपात होगा?
A. 4 : 25
B. 25 : 4
C. 125 : 4
D. 8 : 125
Ans.
हल:- प्रश्नानुसार,
यदि गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हो तो
4πr₁² : 4πr₂²
4 : 25
r₁ : r₂
2 : 5
4/3 πr₁³ : 4/3 πr₂³
8 : 125
Ans. 8 : 125
Q.48 70 सेंटीमीटर आधार त्रिज्या और 40040 सेंटीमीटर के वक्रपृष्ठ क्षेत्र वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन होगा?
A. 862400 सेंटीमीटर³
B. 863200 सेंटीमीटर³
C. 862200 सेंटीमीटर³
D. 865800 सेंटीमीटर³
Ans.
हल:- प्रश्नानुसार,
शंकु का वक्रप्रष्ठ = πrl
= 40040
l = 182 सेंटीमीटर
h² = l² – t²
h² = (182)² – (70)²
h² = 28224
h = 168
शंकु का आयतन = ⅓ πr²h
= ⅓ × 22/7 × (70)² × 168
= 862400 सेंटीमीटर
Ans. 862400 सेंटीमीटर³
Q.49 एक बेलन का वक्रप्रष्ठ 264 वर्ग मीटर हैं। उसका आयतन 924 घन मीटर हैं। तो बेलन की ऊँचाई हैं?
A. 4 मीटर
B. 6 मीटर
C. 8 मीटर
D. 10 मीटर
Ans.
हल:- बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πrh
प्रश्नानुसार,
264 = 2 × 22/7 × rh
rh = 42
πr²h = 924
r = 7
h = 6 मीटर
Ans. 6 मीटर
Q.50 2 सेंटीमीटर भुजा के लकड़ी का एक घन हैं। यदि इसमें अधिकतम आयतन का बेलन काटा जाए तो शेष बची हुई लकड़ी का आयतन कितना होगा?
A. 9/7 घन सेंटीमीटर
B. 10/7 घन सेंटीमीटर
C. 11/7 घन सेंटीमीटर
D. 12/7 घन सेंटीमीटर
Ans.
हल:- प्रश्नानुसार,
बेलन की ऊँचाई = 2 सेंटीमीटर
त्रिज्या = 1 सेंटीमीटर
घन का आयतन = 2³
= 8 घन सेंटीमीटर
बेलन का आयतन = 22/7 × 1 × 1 × 2
= 44/7 घन सेंटीमीटर
शेष लकड़ी का आयतन = 8 – 44/7
= (56 – 44)/7
= 12/7 घन सेंटीमीटर
Ans. 12/7 घन सेंटीमीटर
