अनुपात और समानुपात  (Ratio and Proportion)

पूर्वपद (Antecedent):

• अनुपात में पहले स्थान पर आने वाले पद को पूर्वपद कहा जाता है।
• उदाहरण के लिए, यदि अनुपात 3:5 है, तो यहाँ 3 पूर्वपद है।
• यह उस वस्तु या संख्या को दर्शाता है जिसकी पहले तुलना की जा रही है।

उत्तरपद (Consequent):

• अनुपात में दूसरे स्थान पर आने वाले पद को उत्तरपद कहा जाता है।
• उदाहरण के लिए, यदि अनुपात 3:5 है, तो 5 उत्तरपद है।
• यह दूसरी संख्या या वस्तु है जिसकी तुलना की जा रही है।

यदि किसी कक्षा में 10 लड़के और 15 लड़कियाँ हैं, तो लड़के और लड़कियों का अनुपात 10:15 होगा। इसमें:

• पूर्वपद (Antecedent) = 10 (लड़के)
• उत्तरपद (Consequent) = 15 (लड़कियाँ)

50 पुस्तकों एवं 10 पुस्तकों के मध्य अनुपात = 50:10 = 5:1
राम की उम्र 20 वर्ष एवं श्याम की उम्र 30 वर्ष है। दोनों के उम्र के मध्य अनुपात =20:30=2:3
400 किलो गेहूं एवं 100 किलो गेहूं के मध्य अनुपात = 400: 100 = 4:1
राशि a तथा राशि b के मध्य अनुपात = a : b

• अनुपात में पहली संख्या अर्थात् x को पूर्ववर्ती (Antecedent) तथा दूसरी संख्या अर्थात् y को अनुवर्ती (Consequent) कहते हैं। x : y = x/y
• अनुपात हमेशा समान इकाई की संख्या के बीच होता हैं।
• जैसे :- रुपया : रुपया, किग्रा : किग्रा, घण्टा : घण्टा, सेकण्ड : सेकण्ड आदि।
• यदि दो अनुपात x : y तथा P : Q दिए गए हैं, तो Px : Qy मिश्रित अनुपात में कहलाएंगे।
• दो समान राशियों का अनुपात यह दर्शाता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी है।
• दो राशियों का अनुपात प्रायः उनके सरलतम रूप में व्यक्त किया जाता है। जैसे na : nb को a :b लिखा जाता है।
• दी गई राशियों से पहले एक राशि का इकाई मान ज्ञात कर फिर वांछित संख्या में राशियों का मान ज्ञात करने की विधि को ऐकिक विधि कहा जाता है।

एक स्कूल में कुल विद्यार्थियों की संख्या 1500 है। उसमें से लड़कियों की संख्या 600 है। लड़कों तथा लड़कियों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए?

20 गुब्बारों को दो बच्चों के बीच 2: 3 के अनुपात में बांटिए। बताइए दोनों को कितने-कितने गुब्बारे मिले ?

राजेश और जावेद ने मिलकर एक दुकान खोली। दुकान में राजेश ने 45000 रु तथा जावेद ने 36000 रु लगाए। बताइए राजेश और जावेद द्वारा लगाई पूंजियों का मूल अनुपात क्या है ?

किसी परीक्षा में 117 परीक्षार्थियों में से 65 असफल हो गए तो सफल और असफल परीक्षार्थियों की संख्या में क्या अनुपात है ?

रत्ना और शीला ने मिलकर अपने चाचा के बगीचे से 18 आम तोड़े। दोनों अब इस आम को आपस में बाँटना चाहते हैं। रत्ना चाहती है कि उम्र के अनुपात में आमों को बांटना चाहिए। अब बताइए कि ऐसे बाँटने पर रत्ना और शीला को कितने-कितने आम मिलेंगे जबकि रत्ना की उम्र 15 वर्ष तथा शीला की उम्र 12 वर्ष है।

तीन कॉपियों की कीमत 16.50 रू. है। तो 7 कॉपियों की कीमत ज्ञात कीजिए।

किसी मज़दूर की 25 दिनों की आय 1500 रु. है। उसकी 30 दिनों की आय ज्ञात कीजिए।

यदि 22 मीटर कपड़े का मूल्य 704 रु है तो 20 मीटर कपड़े का मूल्य क्या होगा ?

• दो अनुपात के बराबर भाग को समानुपात कहाँ जाता हैं जिसमें एक अनुपात दूसरे के बराबर होता हैं।
• अर्थात दो शब्दों (सम + अनुपात = समानुपात) के सम्मलित रूप जिसका अर्थ बराबर या समरूप होता हैं।
• दूसरे शब्दों में, दो चर राशियाँ x तथा y समानुपाती कही जाती हैं यदि y/x का मान नियत हो, ऐसी स्थिति में, पहली राशि, दूसरी राशि के समानुपाती होती हैं।

जैसे :- a : b : : c : d

जब a/b = c/d हो, तो इसे समानुपात कहते हैं इसे a : b : : c : d लिखा जाता हैं।

चार राशियों में से जब पहली राशि और दूसरी राशि का अनुपात तीसरी और चौथी राशि के अनुपात के बराबर हों तो वह समानुपात कहलाता हैं।

यदि a : b :: c : d हो, तो ad : bc इसमें a तथा d को बाह पद तथा b और c को मध्य पद कहते हैं।

यदि चार राशियाँ a, b, c तथा d इस प्रकार हैं कि a : b = c : d, तो a, b, c तथा d समानुपात में हैं अथवा यह कह सकते हैं कि चारों राशियाँ a, b, c तथा d समानुपाती हैं

1. पहली संख्या = (दूसरी × तीसरी)/चौथी

2. दूसरी संख्या = (पहली × चौथी)/तीसरी

3. तीसरी संख्या = (पहली × चौथी)/दूसरी

4. चौथी संख्या = (दूसरी संख्या × तीसरी संख्या)/पहली संख्या

5. यदि A : B = x : y, B : C = y : z हो, तो A : C = A/B × B/C = x/y × y/z = x : z

6. A : B = a : b तथा B : C = c : d हो, तो A : B : C = a : b
c : d/(ac : bc : bd)

7. A : B = a : b, B : C = c : d, C : D = x : y हो, तो A : B : C : D = ac : bc : bd
x : y/(acx : bcx : bdx : bdy)

8. x को a : b के अनुपात में बांटा जाए, तो

(i). पहला भाग = x × a/(a + b)
(ii). दूसरा भाग = x × b/(a + b + c)
(iii). तीसरा भाग = x × c/(a + b + c)

9. यदि किसी थैला में x रु. y रु. और z रु. के नोट a : b : c के अनुपात में हो तथा नोटों का कुल मूल्य A रु. हो, तो

(i). x रु. के नोटों की संख्या = a/(xa + yb + zc) × A
(ii). y रु. के नोटों की संख्या = b/(xa + yb + zc) × A
(iii). z रु. के नोटों की संख्या = c/(xa + yb + zc) × A

10. संख्याएँ a, b, c और d में क्या जोड़ा या घटाया जाए कि वे समानुपाती हो जाए, तो अभीष्ट जोड़े या घटाया जाने वाला अंक = (bc – ad)/(a + b) – (b – c)

हल:- प्रश्नानुसार,
a = b²/c
a = (4)²/32
a = 16/32
a = ½
Ans. ½

हल:- प्रश्नानुसार,
b = √ac
b = √9 × 4
b = √36
Ans. 6

हल:- प्रश्नानुसार,
a : b : c
5 : 12 : c
c = b²/a
c = 12²/6
c = (12 × 12)/6
c = 144/6
c = 24
Ans. 24

हल:- प्रश्नानुसार,
a = b²/c
a = (4)²/8
a = 16/8
a = 2
Ans. 2

हल:- प्रश्नानुसार,
b = √ac
b = √0.4 × 0.9
b = √0.36
b = 0.6
Ans. 0.6

हल:- प्रश्नानुसार,
9 : 15 : : 45 : ?
9/15 = 45/x
9 × ? = 45 × 15
? = (45 × 15)/9
? = 15 × 5
? = 75
Ans. 75

हल:- प्रश्नानुसार,
5 : ? : : ? : 125
?² = 125 × 5
?² = 625
? = 25
Ans. 25

हल:- प्रश्नानुसार,
5 × x = 150 × 8
x = (150 × 8)/5
x = 30 × 8
x = 240
Ans. 240

हल:- प्रश्नानुसार,
3 : 5 : : 21 : ?
3 × ? = 21 × 5
? = (21 × 5)/3
? = 7 × 5
? = 35
Ans. 35

हल:- प्रश्नानुसार,
x : 4 : 48 : 16
x × 16 = 4 × 48
x = (4 × 48)/16
x = 4 × 3
x = 12
Ans. 12