द्विविमीय आकृति की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

ज्यामिति में द्वी-आयामी आकृति एक समतल आकृति होती हैं जिसमें लम्बाई और चौड़ाई के दो आयाम होते हैं।

द्विविमीय आकृतियों के अंर्तगत आयत, वर्ग, त्रिभुज आदि आते हैं।

चार भुजाओं से घिरी आकृति जिसमें आमने सामने की भुजाएँ समान्तर और बराबर होती हैं तथा प्रत्येक कोण समकोण होता है आयत कहलाता हैं।

AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं तथा ये विकर्ण आपस में बराबर होते हैं अर्थात AC = BD

• आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
• आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
• आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)

चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण हो अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।

AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं तथा विकर्ण आपस में एक दूसरे के बराबर होते हैं अर्थात AC = BD

• वर्ग का क्षेत्रफल = (एक भुजा)² = a²
• वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × AC × BD
• वर्ग की परिमिति = 4 × a
• वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
• वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल

तीन भुजाओं से घिरा समतल क्षेत्र त्रिभुज कहलाता हैं किसी भी त्रिभुज में तीन भुजाएं, तीन शीर्ष तथा तीन कोण होते हैं त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता हैं। त्रिभुज के लिए ‘∆’ चिन्ह का प्रयोग किया जाता हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

1. समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):
   • जिन त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, उन्हें समबाहु त्रिभुज कहते हैं।
   • इसमें तीनों कोण भी बराबर (60°) होते हैं।
2. समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):
   • जिन त्रिभुजों की दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, उन्हें समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।
   • इसमें समान भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
3. विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle):
   • जिन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं, उन्हें विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।
   • इसमें तीनों कोण भी अलग-अलग होते हैं।
4. न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle):
   • जिन त्रिभुजों के तीनों कोण 90° से छोटे होते हैं, उन्हें न्यूनकोण त्रिभुज कहते हैं।
5. समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle):
   • जिस त्रिभुज में एक कोण 90° का होता है, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।
6. अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle):
   • जिस त्रिभुज में एक कोण 90° से बड़ा होता है, उसे अधिक कोण त्रिभुज कहते हैं।

• त्रिभुज तीन भुजाओं से घिरा क्षेत्र है।
• त्रिभुज एक बन्द आकृति है। यदि तीनों भुजाएँ मिलकर बन्द आकृति नहीं बनाती तो त्रिभुज नहीं बन सकता।
• शीर्ष, भुजा एवं कोण त्रिभुज के भाग हैं।
• त्रिभुज में तीन कोण होते हैं।
• त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों के मापों का योग दो समकोण (180⁰) के बराबर होता है।
• त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाने पर बना हुआ बहिष्कोण, त्रिभुज में स्थित दूरस्थ अंतःकोणों के मापों के योग के बराबर होता है।
• भुजाओं की माप के आधार पर त्रिभुजों को समबाहु, समद्विबाहु तथा विषमबाहु त्रिभुज में वर्गीकृत किया जाता है।
• कोणों के आधार पर त्रिभुजों को न्यूनकोण, समकोण तथा अधिक कोण त्रिभुज में वर्गाणीकृत किया जाता है।
• विषमबाहु त्रिभुज के तीनों भुजाओं की माप तथा तीनों काणों के माप अलग अलग होती है।
• समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ एवं दो कोण बराबर होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ और तीनों कोण बराबर होते है।
• त्रिभुज में दो भुजाओं का योग, तीसरी भुजा से अधिक हो तभी त्रिभुज बन सकता है।
• चार भुजाओं से घिरी बंद आकृति चतुर्भुज कहलाती है।
• चतुर्भुज के अंगों में शीर्ष, भुजा, विकर्ण व कोण सम्मिलित हैं।
• चतुर्भुज के चारों अन्तःकोणों की मापों का योग 360° होता है।
• वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ परस्पर समान्तर एवं बराबर हों, समान्तर चतुर्भुज कहलाता है।
• वह समातंर चतुर्भुज जिसका प्रत्येक कोण 90° का हो, आयत कहलाता है।
• ऐसा चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ अलग-अलग माप की हों तथा सम्मुख भुजाएँ समान्तर न हों विषमबाहु चतुर्भुज कहलाता है।
• ऐसा चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर हो, समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है।
• वह समान्तर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों समचतुर्भुज कहलाता है।
• ऐसा सम चतुर्भुज जिसका प्रत्येक कोण 90° का हो, वर्ग कहलाता है।
• पतंगाकार चतुर्भुज में दो आसन्न भुजाओ के युग्म बराबर होते हैं।

1. Which shape has 4 equal sides and 4 right angles?
   किस आकृति के 4 समान भुजाएँ और 4 समकोण होते हैं?
   a) Rectangle b) Trapezoid c) Square d) Rhombus
   ✅ Answer: c) Square
2. Which of the following is a quadrilateral?
   निम्न में से कौन चतुर्भुज है?
   a) Triangle b) Circle c) Pentagon d) Rectangle
   ✅ Answer: d) Rectangle
3. A parallelogram always has:
   एक समांतर चतुर्भुज में हमेशा होता है:
   a) 1 pair of parallel sides b) No right angles
   c) 2 pairs of parallel sides d) 3 equal sides
   ✅ Answer: c) 2 pairs of parallel sides
4. Which shape has only one pair of parallel sides?
   किस आकृति में केवल एक जोड़ी समांतर भुजाएँ होती हैं?
   a) Square b) Trapezoid c) Rhombus d) Pentagon
   ✅ Answer: b) Trapezoid
5. What do we call a shape with 4 sides and 4 angles?
   4 भुजाएँ और 4 कोण वाली आकृति को क्या कहते हैं?
   a) Triangle b) Circle c) Quadrilateral d) Polygon
   ✅ Answer: c) Quadrilateral

6. A triangle with all equal sides is called:
   समान तीन भुजाओं वाला त्रिकोण कहलाता है:
   a) Scalene triangle b) Isosceles triangle c) Equilateral triangle d) Right triangle
   ✅ Answer: c) Equilateral triangle
7. A right triangle always has:
   समकोण त्रिकोण में हमेशा होता है:
   a) All equal angles b) One 90° angle c) Two acute angles d) All of the above
   ✅ Answer: b) One 90° angle
8. What is the center of a circle called?
   वृत्त के केंद्र को क्या कहते हैं?
   a) Radius b) Circumference c) Diameter d) Center
   ✅ Answer: d) Center
9. Which line goes from the center to the edge of a circle?
   केंद्र से किनारे तक जाने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
   a) Diameter b) Radius c) Arc d) Chord
   ✅ Answer: b) Radius
10. Which line goes all the way through the circle, crossing the center?
    जो रेखा केंद्र को पार करते हुए वृत्त के आर-पार जाती है, उसे क्या कहते हैं?
    a) Radius b) Diameter c) Chord d) Tangent
    ✅ Answer: b) Diameter

11. How many sides does a hexagon have?
    षट्भुज में कितनी भुजाएँ होती हैं?
    a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
    ✅ Answer: b) 6
12. What do we call a polygon with all equal sides and angles?
    जिसकी सभी भुजाएँ और कोण समान हों, उसे क्या कहते हैं?
    a) Irregular polygon b) Symmetrical polygon
    c) Regular polygon d) Quadrilateral
    ✅ Answer: c) Regular polygon
13. Which shape is NOT a polygon?
    निम्न में से कौन बहुभुज नहीं है?
    a) Triangle b) Circle c) Pentagon d) Square
    ✅ Answer: b) Circle
14. What is a 3-sided polygon called?
    तीन भुजाओं वाला बहुभुज क्या कहलाता है?
    a) Pentagon b) Triangle c) Hexagon d) Octagon
    ✅ Answer: b) Triangle

15. What angle is exactly 90 degrees?
    कौन सा कोण ठीक 90 डिग्री का होता है?
    a) Acute b) Obtuse c) Right d) Straight
    ✅ Answer: c) Right
16. Which angle is more than 90° but less than 180°?
    कौन सा कोण 90° से बड़ा और 180° से छोटा होता है?
    a) Acute b) Obtuse c) Right d) Full
    ✅ Answer: b) Obtuse
17. Which lines never meet and stay equal distance apart?
    कौन सी रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं और हमेशा समान दूरी पर रहती हैं?
    a) Intersecting lines b) Perpendicular lines
    c) Parallel lines d) Curved lines
    ✅ Answer: c) Parallel lines
18. Which lines meet at a right angle (90°)?
    कौन सी रेखाएँ समकोण (90°) पर मिलती हैं?
    a) Parallel lines b) Curved lines
    c) Perpendicular lines d) Slanted lines
    ✅ Answer: c) Perpendicular lines
19. If a shape is symmetrical, it means:
    यदि कोई आकृति सममित है, इसका क्या अर्थ है?
    a) It has equal angles only
    b) It is colorful
    c) It can be folded in half to match
    d) It has 4 sides
    ✅ Answer: c) It can be folded in half to match
20. Which shape is congruent to another?
    समरूप आकृति कौन सी होती है?
    a) Same size and shape b) Same color
    c) Same number of sides d) Same area
    ✅ Answer: a) Same size and shape