पूर्ण संख्या के योगफल (Sum of Whole Numbers)

गणित में, दो या दो से अधिक संख्याओं या पदों को जोड़ने के बाद योग को परिणाम या उत्तर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहां, 5 और 7 जोड़ हैं और 12, 5 और 7 का योग है।

योग संकेतन

• जब हम संख्याओं को जोड़ते हैं तो प्लस चिह्न (+) का उपयोग किया जाता है। 
• योग जोड़ से प्राप्त परिणाम का नाम है। 
• हम योग को प्रतीक ∑ (सिग्मा) द्वारा निरूपित कर सकते हैं।

एक अंक वाली संख्याओं का योग

दो अंकीय संख्याओं का योग

• चरण 1: आसानी से समझने के लिए अंकों के बीच पर्याप्त स्थान देकर कॉलम में दिए गए नंबर लिखें।
• चरण 2: इकाई अंक को एक साथ जोड़ें, और कैरी (यदि कोई हो) को स्थानांतरित करें। अंततः, यह इकाई स्थान पर मौजूद संख्याओं का योग देता है।
• चरण 3: दहाई अंक जोड़ें और पिछले चरण से कैरी करें (यदि कोई हो) और कैरी को स्थानांतरित करें। यह दहाई के स्थान पर संख्याओं का योग देता है।
• चरण 4: इस प्रकार, अंतिम पंक्ति के अंक दी गई संख्याओं का योग दर्शाते हैं।

तीन अंकों की संख्याओं का योग

• चरण 1: आसानी से समझने के लिए अंकों के बीच पर्याप्त स्थान देकर कॉलम में दिए गए नंबर लिखें।
• चरण 2: इकाई अंक को एक साथ जोड़ें, और कैरी (यदि कोई हो) को स्थानांतरित करें। अंततः, यह इकाई स्थान पर मौजूद संख्याओं का योग देता है।
• चरण 3: दहाई अंक जोड़ें और पिछले चरण से कैरी करें (यदि कोई हो) और कैरी को स्थानांतरित करें। यह दहाई के स्थान पर संख्याओं का योग देता है।
• चरण 4: सैकड़ों स्थानों के अंकों को जोड़ें, और पिछले चरण से संख्या (यदि कोई हो) ले लें। इस प्रकार, यह परिणाम के सैकड़ों या हजारों या दोनों (योग के आधार पर) प्रदान करता है।
• चरण 5: इस प्रकार, अंतिम पंक्ति के अंक दी गई संख्याओं का योग दर्शाते हैं।

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग

• योग संख्याओं के अनुक्रम के योग या योग का परिणाम है। इस प्रकार, हम प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम का योग ज्ञात कर सकते हैं।
• पहली n प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4,…., n
• यह एक AP है जिसका पहला पद a = 1 और अंतिम पद l = n है।
• हम जानते हैं कि, AP के n पदों का योग, जब पहला और अंतिम पद ज्ञात हो, इस प्रकार दिया जाता है:
• पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n + 1)/2 द्वारा दिया जाता है।

विषम संख्याओं का योग सूत्र

विषम संख्याओं का क्रम है:

1, 3, 5, 7, 9, 11,…..

यह एक AP है जिसका पहला पद a = 1 और दूसरा पद a + d = 3 है।

सार्व अंतर = d = 3 – 1 = 2

प्रथम n विषम संख्याओं का योग है:

विषम संख्या सूत्र का योग n ² है ।

सम संख्याओं का योग सूत्र

सम संख्याओं का क्रम है:

2, 4, 6, 8, 10,…..

यह एक AP है जिसका पहला पद a = 2 और दूसरा पद a + d = 4 है।

सार्व अंतर = d = 4 – 2 = 2

प्रथम n विषम संख्याओं का योग है:

सम संख्याओं के योग का सूत्र n(n + 1) है।

n के गुणज का योगफल (Sum of Multiples of n):

यदि किसी संख्या n के गुणजों का योगफल निकालना हो, तो यह निम्नलिखित प्रक्रिया से किया जा सकता है:

1. गुणज (Multiples) क्या होते हैं?

किसी संख्या n के गुणज वे संख्याएँ हैं, जो n के साथ किसी पूर्ण संख्या को गुणा करने पर प्राप्त होती हैं।
उदाहरण: n=3 के गुणज हैं: 3,6,9,12,…

2. n के पहले k गुणज का योगफल:

यदि n के पहले k गुणज चाहिए, तो वे होंगे:n,2n,3n,…,kn

इनका योगफल:योगफल=n+2n+3n+⋯+kn

सामान्य रूप में:योगफल=n×(1+2+3+⋯+k)

और 1+2+3+⋯+k का योग:

1+2+3+⋯+k =k×(k+1)/2

अतः:योगफल=n×k×(k+1)/2

योज्य तत्समक

योज्य तत्समक 0 होता है योज्य तत्समक के साथ किसी संख्या को जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त होती है I

बैग A में 10 गेंदें हैं और बैग B में 17 गेंदें हैं। कुल गेंदों की संख्या कितनी होगी?

A) 25
B) 26
C) 27
D) 28

उत्तर: ✅ C) 27
व्याख्या: 10 + 17 = 27

गौतम के पास ₹2 के 5 सिक्के हैं। उसके पास कुल कितनी राशि है?

A) ₹5
B) ₹10
C) ₹15
D) ₹20

उत्तर: ✅ B) ₹10
व्याख्या: 5 × ₹2 = ₹10

कमल के पास ₹1 के 10 सिक्के हैं और वीना के पास ₹5 के 7 सिक्के हैं। दोनों के पास कुल कितनी राशि है?

A) ₹40
B) ₹45
C) ₹50
D) ₹55

उत्तर: ✅ B) ₹45
व्याख्या: कमल ₹10 + वीना ₹35 = ₹45

1 से 100 तक की संख्याओं का योग कितना है?

A) 4950
B) 5000
C) 5050
D) 5100

उत्तर: ✅ C) 5050
व्याख्या: n(n+1)/2 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050