वर्ग एवं घन कक्षा 8 गणित
(i) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसका 200 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
200 के गुणनखण्ड:
200=23×52
पूर्ण वर्ग बनने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की घात सम संख्या होनी चाहिए। यहाँ 23 की घात विषम है। इसे सम बनाने के लिए 2 का एक और गुणा करना पड़ेगा।
छोटी से छोटी संख्या = 2
(ii) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसका 180 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
180 के गुणनखण्ड:
180=22×32×51
पूर्ण वर्ग बनने के लिए 51 की घात सम करनी होगी। इसके लिए 5 का एक और गुणा करना पड़ेगा।
छोटी से छोटी संख्या = 5
(iii) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
2352 के गुणनखण्ड:
2352=24×31×72
पूर्ण वर्ग बनने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की घात सम होनी चाहिए। 31 की घात सम नहीं है। अतः इसे सम करने के लिए 3 से भाग देना होगा।
छोटी से छोटी संख्या = 3
प्र.1: निम्न संख्याओं के गुणनखण्डों के जोड़े बनाकर बताइए कि ये संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं अथवा नहीं:
उदाहरण: 144 के लिए
144=24×32
यह पूर्ण वर्ग है क्योंकि सभी अभाज्य गुणनखण्डों की घातें सम हैं।
प्र.2: निम्न संख्याओं के पूर्ण वर्ग न होने का कारण:
उदाहरण: 790
790=21×51×791
यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि सभी अभाज्य गुणनखण्डों की घातें सम नहीं हैं।
प्र.3: वर्ग सम और वर्ग विषम संख्याएँ:
- यदि मूल संख्या सम है, तो उसका वर्ग भी सम होगा।
- यदि मूल संख्या विषम है, तो उसका वर्ग भी विषम होगा।
उदाहरण:
142 =196 (सम)
2052 =42025 (विषम)
प्र.4: रिक्त स्थान भरें:
उदाहरण प्रतिरूप:
10012=104+12
पूर्ण घन की पहचान
पूर्ण घन वह संख्या होती है जिसे किसी संख्या के तीन बार गुणा करने पर प्राप्त किया जा सकता है।
दिए गए विकल्प:
- 800:
- 8003=9.283
- यह पूर्ण घन नहीं है।
- 125:
- 1253=5
- यह पूर्ण घन है।
- 22000:
- 220003=28.713
- यह पूर्ण घन नहीं है।
- 729:
- 7293=9
- यह पूर्ण घन है।
- 2744:
- 27443=14
- यह पूर्ण घन है।
- 832:
- 8323=9.43
- यह पूर्ण घन नहीं है।
प्र.2: 256 को गुणा करने वाली न्यूनतम संख्या
256 का अभाज्य गुणनखंड:
256=28
पूर्ण घन बनने के लिए घात 3 के गुणांक में होनी चाहिए। यहाँ 28 है।
घात को 3 का गुणज बनाने के लिए 2(9−8)=21=2 से गुणा करें।
उत्तर: 2
प्र.3: 1352 को गुणा करने वाली न्यूनतम संख्या
1352 का अभाज्य गुणनखंड:
1352=23×132
पूर्ण घन बनने के लिए 132 को 13 बनाने हेतु 131 से गुणा करना होगा।
उत्तर: 13
प्र.4: 8019 को भाग देने वाली न्यूनतम संख्या
8019 का अभाज्य गुणनखंड:
8019=32×89
पूर्ण घन बनने के लिए 32 को 33 बनाने हेतु 31 से भाग देना होगा।
उत्तर: 3
वर्गमूल निकालना (अभाज्य गुणनखंड द्वारा)
किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंड निकालते हैं और उनके जोड़ों का गुणा करते हैं।
(i) 361
अभाज्य गुणनखंड:
361=19×19=192
सामान्य गुणनखंड का वर्गमूल:
√361=19
उत्तर: 19
256 आमों को बालकों में बांटा गया, प्रत्येक बालक को उतने आम मिले जितनी टोली में बालक थे।
इसका मतलब है कि बालकों की संख्या और प्रति बालक आम दोनों समान हैं।
हम जानते हैं कि ऐसा तभी संभव है जब 256=n2 जहाँ n बालकों की संख्या है।
अभाज्य गुणनखंड:
256=28
√256=24=16
उत्तर: बालकों की संख्या 16 है।
भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करना
घनमूल
